《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论-解析版

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第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论
知识与方法
1．椭圆的第三定义：如图 1所示，设椭圆 的左、右顶点分别
为A和B， 点 P为椭圆 C上不与 A、B重合的动点，则直线 、 的斜率之积
.
推广：如图 2所示，A、B为椭圆 上关于原点对称的任意两点，
P为椭圆 C上的动点且直线 、 的斜率均存在，则直线 、 的斜率之积
2．椭圆中点弦结论：如图 3所示，设 是椭圆 的任意一条
不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为 的中点，则直线 与直线 的斜率之积
.
3． 双 曲 线 的 第 三 定 义 ： 如 图 4所 示 ， 设 A、B分 别 为 双 曲 线
的左、右顶点，P为双曲线上不同于 A、B的任意一点，则直线 、 的斜
率之积
推广：如图 5所示，设 A、B为双曲线 上关于原点 O对称的
任意两点，P为双曲线 C上的动点，且 、 的斜率都存在，则直线 、 的斜率之
积
4．双曲线中点弦结论：如图 6所示，设 是双曲线 的不
垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为 中点，则直线 与直线 的斜率之积
.
提醒：若是焦点在 y轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.
典型例题
【例 1】设椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，P为椭圆 C上不与 A、B重合的
任意一点，则直线 、 的斜率之积为______.
【解析】由题意， ， ，设 ， ，则 ，所以
，
所以 .
【答案】
变式 1 设椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，点 P为椭圆 C上一点
且直线 、 的斜率之积为 ，则椭圆 C的离心率为______.
【解析】由题意， ，所以椭圆 C的离心率 .
【答案】
变式 2 设A为椭圆 上第一象限的一点，B与A关于原点对称，点
P在椭圆 C上且直线 、 的斜率之积为 ，则椭圆 C的离心率为______.
【解析】由题意，可设 ，则 ，且 ，
所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
从而 ，
由题意， ，所以 ，从而 ，故椭圆 C的离心率 .
【答案】
【反思】上面的求解过程其实就是椭圆第三定义推广结论的推导过程，熟悉了这一结论，
小题中可直接根据 求得离心率.
变式 3 椭圆 的左、右顶点分别为 A和B，点 P在C上，设直线 、 的斜
率分别为 、 ，若 ，则 的取值范围是______.
【解析】由椭圆第三定义， ，所以 ，
，故 的取值范围是 .
【答案】
【反思】看到椭圆左、右顶点与椭圆上另外一点的连线，想到椭圆第三定义的斜率积结论.
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