《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第2节 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式-解析版

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第2节 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式
知识与方法
1．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆上任
意点，则椭圆的焦半径 和 可按下面的公式计算：
（1） ；（2） （记忆：左加右减）
2．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 为双曲线
任意一点，则双曲线的焦半径 和 可按下面的公式计算：
（1） ；（2） （记忆：左加右减）
典型例题
【例 1】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，P为C上一点，且 P在第一象限，
，则点 P的坐标为_______.
【 解 析 】 由 题 意 ， ， ， ， 设 ， 则
， ， 由 可 得
， 解 得 ： ， 代 入 椭 圆 方 程 得 ， 故
.
【答案】
变式 1 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆上的一点 P满足 为钝角，
则点 P的横坐标的取值范围为_______.
【解析】由题意， ， ， ，设点 P的恒横坐标为 ，则 ，
， 为 钝 角
.
【答案】
变式 2 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆上的一点 P满足 ，
若P在第一象限，则点 P的坐标为_______.
【 解 析 】 由 题 意 ， ， ， ， 设 ， 则
， ，
， 代 入 椭 圆 方 程 得 ， 所 以
.
【答案】
变式 3 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 P在椭圆上，则 的取值
范围为_______.
【解析】由题意， ， ， ，设 ，其中 ，
则 ， ，所以
【答案】
变式 4 （2019·新课标Ⅲ卷）设 、 为椭圆 的两个焦点，M为C上一点且
在第一象限，若 为等腰三角形，则 M的坐标为_______.
【解析】解法 1： 为等腰三角形，点 M在第一象限 ，且
又 ，所以 ，故只能 ，
设 ，则 ，解得： ，所以 .
解法 2： 为等腰三角形，
点在 M第一象限 ，且 ，
又 ，所以 ，故只能 ，
设 ，由椭圆焦半径公式知 ，
解得： ，代入椭圆方程得 ，故
【答案】
【 例 2】双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线上的一点 P满 足
，则点 P的坐标为_______.
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