《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第1节 通径公式-解析版

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第8章 圆锥曲线方程
第1节 通径公式
知识与方法
1．椭圆的通径公式：如图 1所示，在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，通
径的长 .
2．双曲线的通径公式：如图 2所示，在双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦叫做通径，
通径的长
3．抛物线的通径公式：如图 3所示，在抛物线中，过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通
径，通径的长 .
典型例题
【例 1】椭圆 的左焦点为 F，过 F且与 x轴垂直的直线交椭圆 C于A、B两点，
则=_________.
【解析】由通径公式，
【答案】2
变式 1 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 A在椭圆 C上，且 的中点
在y轴上，则 _________.
【解析】如图，设 的中点为 M，又 O为 的中点，所以 是 的中位线，故
，因为 轴，所以 轴，从而 ，
易求得 ，所以 .
【答案】
变式 2 椭圆 的右焦点为 F，上、下顶点分别为 M、N，过 F且与 x轴垂直的直
线交椭圆 C于A、B两点，则以 A、B、M、N为顶点的四边形的面积为_________.
【解析】如图，四边形 为等腰梯形，
由通径公式， ，显然 ，
梯形的高 ，
所以梯形 的面积 .
【答案】
变式 3 椭圆 的左焦点为 F，右顶点为 A，过 F且与 x轴垂直的直线
与椭圆 C的一个交点为 B，若直线 的倾斜角为 150°，则椭圆 C的离心率为_________.
【解析】如图，直线 的倾斜角为 ，
所以 ，从而 ，
两端同除以 可得： ，
所以 ，解得： 或 （舍去）
【答案】
【例 2】双曲线 的左焦点为 F，过 F且与 x轴垂直的直线交双曲线 C于A、B
两点，则 _________.
【解析】由通径公式， .
【答案】
变式 1 双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 且与 x轴重直的直线交双
曲线 C于A、B两点，则 的面积为_________.
【解析】如图，由题意， ，
由通径公式， ，所以 .
【答案】
变式 2 双曲线 的左焦点为 F，右顶点为 A，过 F且与 x轴垂直的
直线与双曲线 C的一个交点为 B，若 ，则双曲线 C的离心率为_________.
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