《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第15节 泰勒公式-原卷版

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第15 节 泰勒公式
知识与方法
用简单函数逼近复杂函数是数学中的一种基本思想方法，泰勒公式就是利用多项式函
数来逼近其他函数所得到的一个基本定理.
1.泰勒公式：设函数 在 处存在 n阶导数，则
，
其中， 是函数 在 处的 n阶导数值， 是皮亚诺余项，它表示
时， 的高阶无穷小.
2.麦克劳林公式：当 时，泰勒公式变成
，这个公式叫做麦克劳林公式，
它是泰勒公式的特例.下面列出几个常见的麦克劳林公式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5）.
3.泰勒公式在高中数学中的应用：
（1）构造不等式用于放缩：例如，我们在上面的麦克劳林公式（1）中将右侧保留到
一次项，其余全部丢掉，就可以得到一个常用的切线放缩不等式 ，若保留到二次
项，则可以得到 ；类似地，还可以得到 ，
， ， ，
， 等不等式.
（2）近似计算：泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升
高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度.
4.提醒：在高考数学中，我们放缩时使用的以泰勒公式为背景的不等式，绝大多数都
是一阶的，也就是切线放缩
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