《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第15节 泰勒公式-解析版

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第15 节 泰勒公式
知识与方法
用简单函数逼近复杂函数是数学中的一种基本思想方法，泰勒公式就是利用多项式函
数来逼近其他函数所得到的一个基本定理.
1.泰勒公式：设函数 在 处存在 n阶导数，则
，
其中， 是函数 在 处的 n阶导数值， 是皮亚诺余项，它表示
时， 的高阶无穷小.
2.麦克劳林公式：当 时，泰勒公式变成
，这个公式叫做麦克劳林公式，
它是泰勒公式的特例.下面列出几个常见的麦克劳林公式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5）.
3.泰勒公式在高中数学中的应用：
（1）构造不等式用于放缩：例如，我们在上面的麦克劳林公式（1）中将右侧保留到
一次项，其余全部丢掉，就可以得到一个常用的切线放缩不等式 ，若保留到二次
项，则可以得到 ；类似地，还可以得到 ，
， ， ，
， 等不等式.
（2）近似计算：泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升
高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度.
4.提醒：在高考数学中，我们放缩时使用的以泰勒公式为背景的不等式，绝大多数都
是一阶的，也就是切线放缩；
典型例题
【例 1】已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，证明： .
【解析】
，设 ，
则 ， ， ， 注 意 到 ，
所以有端点效应，而 ，所以 ，故 ，此时，
，设 ，则 ，
， ，所以 在 上 ，又 ，所以
，从而 在 上 ，
因为 ，所以 ，故 在 上 ，易求得 ，所以
恒成立，因为 ，所以 ，即 ，满足题意，故实数 的
取值范围是 .
【例 2】若当 时， 恒成立，则实数 a的取值范围是________.
【解析】根据泰勒展式， ，，所以当 时， ，
从而要使 ，只需 ，故 ，所以 .
【答案】
【例 3】（2021·新课标Ⅰ卷）设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法 1：根据泰勒展开式， ，
所以 ，
，
设 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ， ，从而
故 ，
比较 a、b、c的近似表达式容易发现 .
解法 2：，所以选项 A、D错误，
此时观察选项 B、C知只需比较 a和c的大小即可，
设 ，则
，
，所以 在 上 ，所以 ，即 ，
故 ，选 B.
解法 3：，所以选项 A、D错误，
此时观察选项 B、C知只需比较 a和c的大小即可，
注意到 ，
设 ， ，
则 ，当 时，
，
所以 ，从而 ，故 ，当且仅当 时取等号，
从而 在 上 ，所以 ，即 ，所以 ，选 B.
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