《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第15节 阿基米德三角形的常见性质及其应用-原卷版

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第15 节 阿基米德三角形的常见性质及其应用
知识与方法
1.如图 1所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于点
P，则：
（1）设 中点为 M，则 平行于（或重合）抛物线的对称轴；
（2） 的中点 S在抛物线上，且抛物线在点 S处的切线平行于弦 .
2．如图 2所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于
点P，则：
（1）若弦 过抛物线内的定点 Q，则点 P的轨迹是直线；特别地，若弦 过定点
，则点 P的轨迹是直线 ；
（2）若弦 过抛物线内的定点 Q，则以 Q为中点的弦与（1）中点 P的轨迹平行.
3．如图 3所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于
点P，若 过焦点 F，则点 P的轨迹为抛物线准线， ， ，且 的面
积的最小值为 .
4．如图 4所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于
点P，则：
（1） ；（2）
提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题
则必须给出详细的求解过程.
典型例题
【例 1】己知点 在抛物线 的准线上，过点 P作抛物线的切线，切点
为A、B，则直线 的斜率 _______.
变式 1 已知点 和抛物线 ，过 C的焦点 F且斜率为 k的直线与 C交于
A、B两点，若 ，则 _______.
变式 2 已知抛物线 ，过点 作抛物线 C的两条切线，切点分别为 A和B，
则经过 P、A、B三点的圆的方程为______.
变式 3 已知过抛物线 焦点 F的直线与抛物线交于 A、B两点，抛物线在 A、B处的
切线交于点 C，则 面积的最小值为______.
变式 4 已知抛物线 的焦点为 F，过 F的直线与抛物线 C交于 A、B两点，抛物线
C在A、B两点处的切线相交于点 P，若 ，则 _______.
【例 2】抛物线 的焦点为 F，且 F与圆 上的点的距离
的最大值为 4.
（1）求 p的值；
（2）若点 Q在圆 I上， 、 是抛物线 C的两条切线，A、B是切点，当 时，
求直线 与 y轴交点的坐标.
强化训练
1.（★★★）已知点 在抛物线 的准线上，过 P作抛物线 C的切
线，切点分别为 A和B，则直线 的方程为______.
2.（★★★）已知抛物线 的焦点为 F，过点 F的直线 l交抛物线 C于A、B两点，
抛物线在 A、B两点处的切线相交于点 P，则 面积的最小值为_______.
3.（★★★）已知抛物线 和点 ，过 C的焦点 F且斜率为 k的直线 l与抛
物线 C交于 A、B两点，若 ，则 _______.
4.（★★★）已知抛物线 ，过点 作抛物线 C的两条切线，切点分别为 A
和B，若经过 P、A、B三点的圆被 x轴截得的弦长为 4，则 ______.
5.（★★★★）已知抛物线 和点 ，若过某点 C可作抛物线的两条切线，切点
分别为 A和B，且满足 ，则 的面积为______.
6.（★★★★★）已知动圆过点 ，且与直线 相切.
（l）求动圆圆心的轨迹 E的方程；
（2） 设 P为一动点，过 P作曲线 E的两条切线 、 ，切点分别为 A和B， 且
，直线 与圆 相交于 C、D两点，设点 P到直线 的距离为 d，是
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