《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第15节 阿基米德三角形的常见性质及其应用-解析版

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第15 节 阿基米德三角形的常见性质及其应用
知识与方法
1.如图 1所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于点
P，则：
（1）设 中点为 M，则 平行于（或重合）抛物线的对称轴；
（2） 的中点 S在抛物线上，且抛物线在点 S处的切线平行于弦 .
2．如图 2所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于
点P，则：
（1）若弦 过抛物线内的定点 Q，则点 P的轨迹是直线；特别地，若弦 过定点
，则点 P的轨迹是直线 ；
（2）若弦 过抛物线内的定点 Q，则以 Q为中点的弦与（1）中点 P的轨迹平行.
3．如图 3所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于
点P，若 过焦点 F，则点 P的轨迹为抛物线准线， ， ，且 的面
积的最小值为 .
4．如图 4所示，不妨设抛物线为 ，抛物线上 A、B两点处的切线交于
点P，则：
（1） ；（2）
提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题
则必须给出详细的求解过程.
典型例题
【例 1】己知点 在抛物线 的准线上，过点 P作抛物线的切线，切点
为A、B，则直线 的斜率 _______.
【解析】点 在抛物线 的准线上 抛物线的准线为 抛物线
的焦点为 ，由阿基米德三角形性质，直线 过 F且 ，而 ，
所以直线 的斜率为 2.
【答案】2
变式 1 已知点 和抛物线 ，过 C的焦点 F且斜率为 k的直线与 C交于
A、B两点，若 ，则 _______.
【解析】由题意，M在抛物线 C的准线上，直线 过点 F且 ，所以 是
阿基米德三角形，
如图，由阿基米德三角形性质， ，而 ，所以直线 的斜率为 1.
【答案】1
变式 2 已知抛物线 ，过点 作抛物线 C的两条切线，切点分别为 A和B，
则经过 P、A、B三点的圆的方程为______.
【解析】由题意，点 P在抛物线 C的准线上，则 ， ，且直线 过焦点
， 所 以 经 过 P、A、B三 点 的 圆 就 是 以 为 直 径 的 圆 ， 直 线 的 斜 率 为
，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，设 ， ，
联立 消去 y整理得： ，
故 ， ，从而 中点为 ， ，
所以经过 P、A、B三点的圆的方程为 .
【答案】
变式 3 已知过抛物线 焦点 F的直线与抛物线交于 A、B两点，抛物线在 A、B处的
切线交于点 C，则 面积的最小值为______.
【解析】由阿基米德三角形性质，当直线 过焦点 F时， 面积的最小值为 .
【答案】1
变式 4 已知抛物线 的焦点为 F，过 F的直线与抛物线 C交于 A、B两点，抛物线
C在A、B两点处的切线相交于点 P，若 ，则 _______.
【解析】设 ，则 ，
所以 ，故 ，
由阿基米德三角形性质，
所以 .
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