《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第14节 洛必达法则-解析版

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第14 节 洛必达法则
知识与方法
在有的问题中，我们要研究函数的图象，但函数存在没有定义的点，代入解析式计算
函数在该点处的函数值时，会出现诸如 、 的不定式，从而无法用初等的方法研究函数
在该点附近的图象走势.例如，在研究函数 在 附近的图象时，初等代数的
方法就会显得束手无策，此时，我们需要用到高等代数中的一个重要定理：洛必达法则.
1．洛必达法则：设函数 与 在 上存在导数， ，且
或 ， ，其中 a为有限值或无穷大，则
（其中 表示从 的右侧无限逼近 ，类似的， 表
示从 的左侧无限逼近 ）
类似的，对于左侧极限，也有相应的结论：
洛必达法则给了我们一种求极限的简便方法，在高中数学的范畴，一般来说，洛必达
法则的条件都能够满足，因此，如果遇到 型、 型的不定式，就可以把分子分母分别求
导，
再求极限，所得的结果与原来的极限值是相等的.
下 面 我 们 来 考虑 时 ， 式 的 极 限 值 ， 注意 到 该 式 的 分子 ， 分 母
，属于 型的不定式，分子分母在 附近都能求导，所以两者相除所得的极限
值等于分子分母分别求导之后再相除求极限所得值，即 .
如果我们要作出函数 的图象，可以先求导研究其单调性，再作
草图.
易 求 得 ， 令 ， 则 ， 显 然
， ，所以 在 上单调递增，在 上单调
递减；从而 ，当且仅当 时取等号，故 ，所以 在 和
上均为减函数，虽然 在 处没有定义，但我们已经求出了它在 时的极
限，再求出当 、 时 的极限值 ，
，据此就可以作出函数 的草图，如下图所示.
洛必达法则在高等代数中的应用非常广泛，在高中数学里，我们也可以用它来解决一
些简单的求极限问题.下面通过一些实例来感受洛必达法则的作用.
提醒：①若用了一次洛必达法则后，仍然满足洛必达法则的使用条件，那么可以再用
洛必达法则，直到不满足洛必达法则的使用条件为止；②在解答题中使用洛必达法则，存
在被扣分的风险，所以本节的例题和强化训练，我们都只选取小题 .解答题中使用洛必达法
则的方法和小题中类似；③同学们提前了解洛必达法则，主要目的是学习一个新的研究函
数的工具，能够站在更高处，更为透彻地看待问题，不应该是为了用它投机取巧，反而忽
略了高中数学中本该重点学习的初等方法.
典型例题
【例 1】若函数 有 2个零点，则实数 a的取值范围是________.
【解析】显然 ，所以 0是函数 的一个零点，从而当 时， 应还有 1
个零点，此时， ，设 ，则
， 令 ， 则 ，
，
所以 ， ，从而 在 上 ，在 上 ，
又 ，所以 恒成立，从而 在 R上 ，
而 ， 所 以 当 时 ， ， 从 而 ， 当 时 ， ， 从 而
，
故 在 和 都是增函数，由洛必达法则，
， ，
所以函数 的大致图象如图所示，由图可知当且仅当 且 时，
直线 与函数 的图象有 1个交点，此时 共有 2个零点，
所以实数 a的取值范围是 .
【答案】
【例 2】若当 时， 恒成立，则实数 a的取值范围是________.
【解析】当 时，不等式 对任意的实数 a都成立，
当 时，不等式 等价于,
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上 ，
又 ，所以 ，从而 ，所以 在 上 ，
由洛必达法则， ，
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