《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第13节 指对共生式同构技法-解析版

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第13 节 指对共生式同构技法
知识与方法
在诸多函数不等式问题中，可以通过对不等式等价变形，将不等式变成左右两端结构
一致的情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题.用好同构，需要较强的观察能
力和一定的解题经验.
1.指对共生式同构常用的恒等式： ， ，这两个等式常用
于指、对之间的调整.
2.指对共生式基础同构模型
（1） 与 的同构： ，
，所以这两个结构可以相互转化.
注 ： 除 了 上 述 同 构 方 法 外 ， 也 可 以 通 过 取 对 数 来 同 构 .例 如 ，
， 也达到了同构的效果.
（2） 与 的同构： ，
，所以这两个结构可以相互转化.
注：除了上述同构方法外，也可以通过取对数来同构.例如， ，
，也达到了同构的效果.
（3） 与 的 同 构 ： ，
，所以这两个结构可以相互转化.
3.在一些复杂的问题中，需要配凑才能同构.例如，
.
4.本节在同构过程中，会反复用到 和 这两个函数，
此处统一研究这两个函数的图象性质，后面的题目解析中直接给出图象，不再重复研究.
易求得 ，所以 ， ，
故 在 上 ，在 上 ，
又 ， ， ， ，所以 的大致图象如
图1所示，
易求得 ，所以 ， ，
故 在 上 ，在 上 ， ， ，
又 ，设 ，则当 时， ，
所以 ，所以 的大致图象如图 2所示.
提醒：在小题中遇到含参不等式问题，当参变分离、半分离等方法不太好处理时，往
往可以考虑用同构.
典型例题
【例题】设 ，若对任意的 ，不等式 0恒成立，则 的最小值
为________.
【解析】解法 1： ①，
设 ，则 的大致图象如图 1，不等式①即为 ，
因为 ，从而 ，所以 ，故 的最小值为 .
解法 2：，临界状态如图 2，两曲线有唯一的一个交点，
设该交点的横坐标为 ，则 ，
将①代入②可得 ，所以 ，
代入①消去 得： ③，
观察可得方程③的解为 ，故 ，
由图可知当且仅当 时，原不等式恒成立，所以 的最小值为 .
【答案】
变式 1 若对任意的 ， 恒成立，则实数 a的最小值为________.
【解析】 解法 1：
①，
设 ，则 的大致图象如图 1所示，不等式①即为 ，
注意到当 时， ，所以 ，
设 ，则 ，且 ，从而 ，故 ，即实数 α的最小值为 .
解法 2： ，此不等式恒成立的临界状态如图 2所示，
此时曲线 和曲线 临界相切，设切点的横坐标为 ，
则 ，由①可得 ，代入②化简得： ，
解得： ，所以 ，由图可知当且仅当 时，
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