《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第12节 一类双参问题的切线分析-解析版

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第12 节 一类双参问题的切线分析
知识与方法
本节针对的题型是在函数 满足 或 恒成立的条件下，研
究一些关于 和 的双参代数式的最值问题，以及相关的一些演变题型.请通过下面的一组
题去感悟其中的解题方法和技巧吧.
典型例题
【例题】若直线 和 的图象相切，则 的最小值为________.
【解析】解法 1：设 和 的图象相切于点 ，
因为 ，所以 的图象在点
P
处的切线方程为 ，
即 ,从而 ， ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，
故 在 上 ，在 上 ，从而 ,
所以 的最小值为 0.
解法 2：如图，
表示切线 上横坐标为 1 的点的纵坐标，易得 在 处的切线方程为
，对于这条切线， ，
而对于其它切线，显然切线上横坐标为 1 的点 必在 轴的上方，所以 ，故
的最小值为 0.
【答案】0
变式 1 若直线 和 的图象相切，则 的最小值为________.
【解析】解法 1：设 和 的图象相切于点 ，
因为 ，所以 的图象在点 处的切线方程为 ,
即 ，从而 ， ，故 ，
设 ， 则 ， 所 以 ， ，
从而 在 上 ，在 上 ，故 ，所以 的最小值为 .
解法 2： 切线在 轴上的截距为 ，
所以欲寻找 的最小值，只需寻找横截距 的最大值，如图，
对于切线 ，其横截距为 1，
而对于其它切线，横截距显然都小于 1，
所以切线的横截距 的最大值为 1，即 的最小值为 .
【答案】
【反思】本题若将条件改为 恒成立，问题不变，答案和原来一样吗?不明白的
同学去看看视频吧.
变式 2 若不等式 恒成立，则 的最小值为________.
【解析】解析： ，
若 ，则当 时， , 或 ，
不等式 不可能恒成立，所以 ，
此时， ，
设 ， 则 ， ， 又 ， 所 以
的大致图象如图，
当 最小时， 最大，
注意到 是直线 在 轴上的截距，
由图可知当 最 大时， 必为 的图象在 处的切线， 从而
的最大值为 1，故 的最小值为 .
【答案】
变式 3 若不等式 对任意的 恒成立，则：
（1）当 时， 的最小值为________; （2）当 时， 的最小值为________.
【解 析 】 （ 1 ） 解 法 1 ： 当 时 ， 即 为 ， 设
， 则 ， 所 以 ， ，
从而 在 上 ，在 上 ，故 ，因为 恒成立，所
以 ，故 的最小值为 1.
解法 2：当 时， 即为 ，
易证 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 ，
因为 恒成立，所以 ，故 的最小值为 1.
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