《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第11节 原函数构造与“大同小异”-解析版

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第11 节 原函数构造与“大同小异”
知识与方法
1.本节主要解决导函数不等式问题，题干通常会给出一个与 有关的不等式，让我
们求解一个与 有关的不等式.这类题平时考试很常见，但真题考得不算多.解题的常规
方法有构造法和特例法两种，常见的构造归纳如下：
已知的不等式中所含结构 构造函数的方向
，
，
，
，
，
，
，
，
提醒：高中并没有系统性地学习不定积分，高考对求导逆运算（构造原函数）的要求
并不高，不需要钻研一些特别复杂的构造，掌握常见的几种构造形式即可.
2.导函数不等式问题除了有上述常规方法外，有时也可以采用“大同小异”的方法取
巧举个例子，假设题干给出 ，让我们求解不等式
，则可以按以下步骤操作：
（1）第一步，在 这个已知条件中，在保证 的系数为正的条件下（若
为负，可先移项使其为正)，不等号是“>”，则“大同”；
（2）第二步，直接将 后面的 直接丢掉，
变成 ；
（3）第三步，根据第一步得出的“大同”，将其变成 ；
（4）第四步，解不等式 得出 即为本题答案.
提醒：①若在上述例子中，将已知条件由 改为 ，则属于“小异”
的 情 况 ， 那 么 在 处 理 不 等 式 的 时 候 ， 应 该 将 其 变 成
，从而解得结果 .需要注意的是这一解题过程并不严密，属于经验方法，不
保证结果一定正确，在考试时若想不到如何构造原函数，或者没有时间详细思考了，可以
考虑这样做.至于为什么这样做大多数情况下都是对的，去看看本节的视频吧；②若让我们
求解的与 有关的不等式中只有 1个函数值，那么题干的条件中通常会给出另一个函数
值，此时直接利用另一个已知的函数凑成函数值不等式即可；③若给出 为奇函数，则
不等式 和 的解集具有“相反拼接性”，若给出 为偶函数，则不等式
和 的解集具有“原点对称性”，如下图所示.
典型例题
【 例 1】函数 的定义域为 R，若 ，则不等式
的解集为________.
【解析】解法 1：设 ，则 ，所以 在 R上 ，
而
所以 ，从而 ，解得： .
解法 2：设 ，不难发现，满足题干所有条件，
代入 可得 ，
整理得： ，解得： .
解法 3（大同小异法）：第一步， ，属于“小异”的情形；
第 二 步 ， 将 中 的 扔 掉 变 成
；第三步，根据第一步得出的“小异”，将 再
变成 ；
第四步，解上面的不等式得出 .
【答案】
变 式 1 函数 的定义域为 R，若 ，且 ，则不等式
的解集为________.
【解析】
解法 1：设 ，则 ，所以 在 R上 ，
，从而
， 所 以 ， 故
，解得： .
解法 2：设 ，不难发现，满足题干所有条件，代入
可得 ，整理得 ，解得： .
解法 3（大同小异法）：第一步， ，属于“小异”的情形；
第二步，结合题干的 将 直接变成 ；
第三步，根据第一步得出的“小异”，将 再变成 ；
第四步，解上面的不等式得出 .
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