《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第7节 函数的反周期与仿周期特性-解析版

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第7节 函数的反周期与仿周期特性
典型例题
【例 1】己知函数 满足对任意的实数 都有 ，且 当 时，
，则：
（1）________；
（2）若函数 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为________.
【解析】在 中取 知 ，
周 期 为 ,
，画出图象如下，
当 时，临界状态为图中的 ，当 时， ，
, 判 别 式 ，
由图可知当 时,满足题意,当 时，临界状态为图中的 ，
它与 的图象在点 处相切,当 时， ，所以 ，
由图可知当 时，满足题意,综上所述， 的取值范围为
【答案】 ,
【 例 2】 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 且 当 时 ，
，若关于 的方程 在 上有 3个实数解，则实数 ____
____.
【解析】由题意， 的部分图象如图，
要使方程 在 上有 3 个实数解，可能的情形为图 1 或图 2，对于图 1，
当 时， ,
直线 与曲线 相切，
联立 消去 整理得 ，
判别式 ，解得： 或 （舍去)，
对于图 2， 时， ，
直线 与曲线 相切，
联立 消去 整理得: ，
判别式 ，解得： 或 (舍去)
综上所述，实数 的值为 或
【答案】 或
变式 函数 是定义在 上的函数，且满足 ，当 时，
.若存在 ，使 成立，则实数 的取值范围为________.
【解析】画出图象如下，
设 与 的图象从左至右的第一个交点的横坐标为 ，
由图可知当 时符合题意.先求当 时， 的解析式，
可设 ，由 知 ，
即 ，
联立 解得： 或 ，显然 ，故 .
【答案】
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1. （ ★ ★ ） 函 数 满 足 对 任 意 的 实 数 ， 有 ， 且 当 时 ，
，则 ________.
【解 析 】 周 期 为 4 ， 故
.
【答案】1
2. （多选★★★）定义在 R上的函数 满足 ，且当 时，
，则下列等式成立的是
A. B.
C. D.
【解析】在 中将 替换成 得 ，
而 ，所以 ，在此式中将 替换成 得 ，
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