《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第6节 抽象函数的对称性结论归纳-解析版

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第6节 抽象函数的对称性结论归纳
知识与方法
1.轴对称：如果函数 满足 ，就有 ，则 的图象关
于直线 对称.
记法：自变量关于 a对称，函数值相等.
例如， 表示 关于 对称， 表示 关于
对称.
2.中心对称：若函数 满足 ，就有 ，则 关于
点 对称.
记法：自变量关于 a对称，函数值关于 b对称.
例如， 表示 关于 对称， 表示
关于 对称.
3.常用结论（视频中有推导这些结论）：
（1）如果函数 有两条对称轴，则 一定是周期函数，周期为对称轴距离的 2
倍.
（2）如果函数 有一条对称轴，一个对称中心，则 一定是周期函数，周期为
对称中心与对称轴之间距离的 4倍.
（3）如果函数 有在同一水平线上的两个对称中心，则 一定是周期函数，周
期为对称中心之间距离的 2倍.
典型例题
【例 1】已知函数 满足 ，且在 上为增函数，则（
）
A. B.
C. D.
【解析】 的图象关于直线 对称，所以
，因为 ，且 在 上为增函数，所以 ，从
而
【答案】C
【例 2】己知函数 满足 ，若函数 共有 3个不同
的零点 、 、 ，则 _________.
【解析】 的图象关于 对称， ，
由于 的图象也关于 对称，故它们的交点关于 对称，
设 ，则必有 且 ，故 .
【答案】3
【 例 3】已知函数 满足 ，若 ，则
_______.
【解 析 】 ， 分 别 取 和 得 ：
，两式相加得： ，又 ，
所以 .
【答案】0
【例 4】偶函数 的图象关于直线 对称，若 ，则 _______.
【解析】由题意， 周期为 4，故 .
【答案】3
【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的 2倍.
【 例 5】 （ 2018· 新 课 标 Ⅱ 卷 ） 若 是 定 义 域 为 的 奇 函 数 ， 满 足
，若 ，则 =（ ）
A. B.0 C.2 D.50
【解 析 】 因 为 是 奇 函 数 ， 且 ， 所 以 ， 故
，所以 ，即 是以 4为周期的周期函数，
故 ，在 中取 知 ，
又 ，所以 ，
故
.
【答案】C
【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的 4倍，熟悉这一结论，可直接得
出本题 的周期为 4.
【例 6】定义在 R上的奇函数 满足 ，当 时， ，
则_______.
【解 析 】由题意， 有对称中心 和 ，故其周期为 2，所以
.
【答案】
【反思】若 有位于同一水平线上的两个对称中心，则 为周期函数，周期为二者
之间距离的 2倍.
强化训练
1.（★★★）已知函数 满足 ，且 在 上为
减函数，则（ ）
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