《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第3节 基于奇函数的一个常考小结论-解析版

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第3节 基于奇函数的一个常考小结论
知识与方法
我们知道，若 为奇函数，则 对定义域内的任意实数 恒成立，
那么设 ，则 ，特别地， .基于这一
小结论命制的高考真题较为常见.
典型例题
【例题】已知 为奇函数， ， ，则 ________.
【解析】由题意， ，故 ，
所以 ，即 ，从而 .
【答案】
变式 1 设函数 ，若 ，则 ________.
【解析】设 ，则 为奇函数，
因为 ，所以 ，故 .
【答案】
变式 2 （2018·新课标Ⅲ卷）已知函数 ， ，则 ___
_____.
【解析】设 ，
则 ，所以 为奇函数，而
，所以 ，故 .
【答案】
【反思】 是高考比较常见的一个奇函数.
变式 3 （2013·重庆）已知函数 ， ，则
（ ）
（A） （B） （C） （D）4
【解析】设 ，
则 是奇函数，
， ，
因为 ，
所以
【答案】C
【反思】本题本质上仍是考这一节的小结论，难点在于 和 互为相反数这
一特征较为隐蔽.
变式 4 已知函数 的最大值为 M，最小值为 m，则 _______.
【解析】 ，显然 是奇函数，
所以 ，故 .
【答案】2
【反思】若 为奇函数， ，且 存在最大值 M和最小值 ， 则
.请结合图象直观想象这一结论的合理性.
变式 5 已知函数 ，若 ，则 ________.
【解析】由题意， ，
设 ，
则 为 奇 函 数 ， 而
，所以 的图象关于点 对称，从而 ，又
，所以 .
【答案】
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