《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第2节 二次型分式函数求最值-解析版

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第2节 二次型分式函数求最值
知识与方法
我们把 、 、 统称为“二次型分式函数”，这
些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例
题详细分析这些方法是如何使用的.
典型例题
【例题】函数 的最小值为________.
【解析】解法 1（均值不等式法）：令 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，从而函数 的最小值为 3.
解 法 2（ 判 别 式 法 ） ： 将 变 形 为 ， 整 理 得 ：
①，将式①看出关于 的一元二次方程，
其 判 别 式 ， 解 得 ： 或 ， 因 为 ，所 以 ，
，从而 ，故 ，
注意到当 时， ，所以函数 的最小值为 3.
解 法 3（ 求 导 法 ） ： 设 ， 则 ， 所 以
， ，从而 在 上 ，在 上 ，故
.
【答案】3
变式 1 函数 的最大值为________.
【解析】解法 1（均值不等式法）：令 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，从而函数 的最大值为 .
解法 2（判别式法）：将 变形成 ，
整理得： ①，当 时，把①看成关于 的一元二次方程，其判
别式 ，解得： ，注意到当 时， ，所以函
数 的最大值为 .
解 法 3（ 求 导 法 ） ： 设 ， 则 ， 所 以
， ，从而 在 上 ，在 上 ，故
.
【答案】
变式 2 函数 的最小值为________.
【解析】
解法 1（均值不等式法）：由题意， ，令
，则 ， ，
且 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，从而函数 的最小值为
.
解 法 2（判别式法）：将 变形为 ，整理得：
，当 时，将该方程看成关于 x的一元二次方程，
其判别式 ，解得： ，
注意到当 时， ，所以函数 的最小值为 .
解 法 3（ 求 导 法 ） ： 设 ， 则 ， 所 以
， ，从而 在 上 ，在 上 ，故
.
【答案】
【反思】从上面的几个例子可以看到， 、 、 这三
种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等
式法，判别式法和求导法作为备选方案.
变式 3 函数 的最大值为________.
【解析】设 ，则 ， ，且 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，所以函数 的最大值为 .
【答案】
变式 4 函数 的最大值为________.
【解析】设 ，则 ， ，且 ，
易得函数 在 上 ，所以 ，故函数 的最大
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