《2022年新高考数学应用类型问题专题突破（新高考地区专用）》专题05 数列（解析版）

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专题 05 数列
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）
时间：90 分钟
一、单选题
1．（2020·河北衡水中学高三其他模拟（理））“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，
其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的 得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的
为第三根琴弦，第三根琴弦长度的 为第四根琴弦，第四根琴弦长度的 为第五根琴弦．琴弦越短，
发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（jué）、徵
（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设基准琴弦的长度为 ，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到
小排列，从而可求出“角”和“徵”对应的琴弦长度之比.
【详解】
设基准琴弦的长度为 ，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为 ， ， ， ，
五根琴弦的长度从大到小依次为 ， ， ， ， ，
所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为 和 ，其长度之比为 ．
故选：C.
2．（2020·甘肃兰州一中月考（文））我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.
《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.
相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影
长之和为 31.5 尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为 25.5 尺，则冬至日影的长为（ ）
A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5
【答案】C
【分析】
由题意可知从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种
这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为 ，公差为 ，列出方程即可求解.
【详解】
由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这
十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为 ，公差为 ，
则 ， ，
两式相减得 ，解得 ，
所以 ，
解得 ，
故选：C
3．（2020·湖北宜昌·高三其他模拟（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波
那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，数列 满足 ， ，
，如果以 和 分别为长和宽得到一个矩形，其长宽之比等于 1.618 时，就把这个矩形定义为
黄金矩形，那么 时，最接近黄金矩形的 n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
从 到 依次列出 和 的值，求其比值，找最接近的即可.
【详解】
解：
1 2 3 4 5
1 1 2 3 5
1 2 3 5 8
比 值 1 2 1.5 1.6666667 1.6
由表中看出， ， 最接近 1.618，
故选：D
【点睛】
考查递推数列的应用，是基础题.
4．（2020·鸡西市第一中学校高一期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按
比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知 ， ， 三人分配奖金的衰分比为
，若 分得奖金 1000 元，则 ， 所分得奖金分别为 800 元和 640 元.某科研所四位技术人员甲、
乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780 元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，
且甲与丙共获得奖金 36200 元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为
A． ，14580 元B． ，14580 元
C． ，10800 元D． ，10800 元
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