《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第34讲 离散型随机变量分布列与期望（解析版）

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第34 讲 离散型随机变量分布列与期望
方法总结：
1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：
（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.
（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布
2、常见的分布
（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件 发生的概率为 ，令 ，则
的分布列为：
则称 符合两点分布（也称伯努利分布），其中 称为成功概率
（2）超几何分布：在含有 个特殊元素的 个元素中，不放回的任取 件，其中含有特殊元素的个数记
为 ，则有 ，其中
即：
则称随机变量 服从超几何分布
（3）二项分布：在 次独立重复试验中，事件 发生的概率为 ，设在 次试验中事件 发生的次数为
随机变量 ，则有 ，即：
则称随机变量 符合二项分布，记为
3、期望：已知离散性随机变量 的分布列为：
则称 的值为 的期望，记为
（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了 次这样的试验，每次试验随机变量会取
一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当 足够大时，平均数无限接近一个
确定的数，这个数即为该随机变量的期望。
（2） 期 望 的 运 算 法 则 ： 若 两 个 随 机 变 量 存 在 线 性 对 应 关 系 ： ， 则 有
① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组 代表事件的概率相同：若
的分布列为：
则 的分布列为：
② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。
4、方差：已知离散性随机变量 的分布列为：
且记随机变量 的期望为 ，用 表示 的方差，则有：
（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布
的较为集中（集中在期望值周围）
（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则
（3）方差的运算法则：若两个随机变量 存在线性对应关系： ，则有：
5、常见分布的期望与方差：
（1）两点分布：则
（2）二项分布：若 ，则
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和
人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转
产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒､保质保量”成为口罩生产线上的重要标语
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