《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第33讲 统计（原卷版）

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第33 讲 统计
方法总结：
一、线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归方程 的求法为
其中， ， ，( , )称为样本点的中心。
步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，
直线斜率 k>0，称两个变量正相关；k<0，称两个变量负相关。
二、独立性
独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。
步骤为列出 22列联表(如表 13-8 所示)，求出 ，并判断：
A1A2合计
B1a c a+c
B2b d b+d
合计 a+b c+d n=a+b+c+d
若K2>10.828，有 99.9%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若10.828K2>6.635，有 99%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若6.635K2>3.841，有 95%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若K23.841，没有把握称 A与B相关。
典型例题：
例1．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有 1500 名，其中男生 800 名，女生 700 名，为全面推进
学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高
一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了 300 名学生每周平均运动时
间的样本数据（单位：小时），并根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直
方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ， ， ， ， ， .
(1)求这 300 个样本数据中女生人数，并估计样本数据的 85%分位数与方差；
(2)在调查的 300 名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取 20 人参加校园“我运动我快乐”活动，再
从这 20 人中选取 2名志愿者担任主要负责人，记这 2名志愿者中“每周运动时间超过 8小时”的人数为 ，
求 的分布列及数学期望.
例2．（2022·河北唐山·高三期末）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国 1997-
2016 年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图 1表示 1997-2016 年我国的国内生
产总值（GDP），图 2表示 2007-2016 年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用 表示第 i张图中的年份与 GDP 的线性相关系数， ，依据散点图的特征分
别写出 的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数
的数值，部分结果如下表所示：
年份 1997-2016 2007-2016
线性回归模型 0.9306
指数回归模型 0.9899 0.978
① 将上表中的数据补充完整（结果保留 3位小数，直接写在答题卡上）；
② 若估计 2017 年的 GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来
估计，2020 年的 GDP 能否突破 100 万亿元？事实上，2020 年的 GDP 刚好突破了100 万亿元，估计与事实
是否吻合？结合散点图解释说明.
例3．（2022·重庆八中高三阶段练习）5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于
领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第 1月份至6月份的 5G经济收入y（单
位：百万元）关于月份x的数据如表：
时间（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百万
元）
6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根据以上数据绘制散点图，如图.
(1)根据散点图判断， 与 （a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为 5G经济收入y关于月份
x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出 y关于 x的回归方程，并预测该公司 8月份的 5G经济收入；
(3)从前6个月的收入中抽取 3个，记月收入超过 16 百万的个数为 X，求 X的分布列和数学期望.
参考数据：
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