《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第33讲 统计（解析版）

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第33 讲 统计
方法总结：
一、线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归方程 的求法为
其中， ， ，( , )称为样本点的中心。
步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，
直线斜率 k>0，称两个变量正相关；k<0，称两个变量负相关。
二、独立性
独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。
步骤为列出 22列联表(如表 13-8 所示)，求出 ，并判断：
A1A2合计
B1a c a+c
B2b d b+d
合计 a+b c+d n=a+b+c+d
若K2>10.828，有 99.9%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若10.828K2>6.635，有 99%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若6.635K2>3.841，有 95%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若K23.841，没有把握称 A与B相关。
典型例题：
例1．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有 1500 名，其中男生 800 名，女生 700 名，为全面推进
学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高
一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了 300 名学生每周平均运动时
间的样本数据（单位：小时），并根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直
方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ， ， ， ， ， .
(1)求这 300 个样本数据中女生人数，并估计样本数据的 85%分位数与方差；
(2)在调查的 300 名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取 20 人参加校园“我运动我快乐”活动，再
从这 20 人中选取 2名志愿者担任主要负责人，记这 2名志愿者中“每周运动时间超过 8小时”的人数为 ，
求 的分布列及数学期望.
【答案】(1)140 人，分位数为 ，方差为 6.16；
(2)分布列见解析， .
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图及分层抽样，可求出样本数据中女生人数及样本数据的 85%分位数与方差；
（2）利用分层抽样可计算出“每周运动时间超过 8小时”的有 4人，“每周运动时间不超过 8小时”的有
16 人，所以 的可能的取值为 0，1，2，利用超几何分布可求得 的分布列及数学期望.
(1)
依题意，样本数据中女生人数为 .
因为样本数据中在 8小时以下的学生人数所占比例为 ，
则85%分位数为 .
平均数为 ，
所以样本数据的方差为
，
所以样本数据中女生人数为 140，样本数据的 85%分位数为 ，方差为 6.16.
(2)
用分层抽样的方法，从中选取 20 人，则其中“每周运动时间超过 8小时”的有 4人，“每周运动时间不超
过8小时”的有 16 人.
由题意知， 的可能取值为 0，1，2，
且 ； ； ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
例2．（2022·河北唐山·高三期末）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国 1997-
2016 年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图 1表示 1997-2016 年我国的国内生
产总值（GDP），图 2表示 2007-2016 年我国的国内生产总值（GDP）．
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