《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第32讲 排列组合问题（原卷版）

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第32 讲 排列组合问题
方法总结：
一、处理排列组合问题的常用思路：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
2、寻找对立事件
3、先取再排（先分组再排列）
二、排列组合的常见模型
1、捆绑法
2、插空法
3、错位排列
4、依次插空
5、不同元素分组
6、相同元素分组：隔板法
7、涂色问题：
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从
点到 点的最短路径的走法有___种．
例2．（2022·全国·高三专题练习）方程 的非负整数解共有___________组．
例3．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域
只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作
答
例4．（2022·江苏·高三专题练习）将 4个相同的白球、5个相同的黑球放入 4个不同盒子中的 3个中，使
得有 1个空盒且其他 3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有____种． 用数字作答
例5．（2022·全国·高三专题练习）现有 15 个省三好学生名额分给 1、2、3、4共四个班级，其中 1班至少
2个名额，2班、4班每班至少 3个名额，3班最多 2个名额，则共有_________种不同分配方案.
例6．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）将 3个不同颜色的小球放入排成一排的 6个相同的盒子，每个
盒子最多可以放一个小球，则 3个空盒中恰有 2个空盒相邻的放法共有_________种.（用数字作答）
例7．（2022·浙江上虞·高三期末）某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等 9名医务工
作者中选 6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、
丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的
安排数为__________．（请算出实际数值）
例8．（2022·河北保定·高三期末）某体育赛事组织者招募到 8名志愿者，其中 3名女性，5名男性，体育
馆共有 三个入口，每个入口需要分配不少于 2个且不多于 3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则
3名女志愿者被分在同一个入口的概率为___________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有__________
_种.
例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10 名同学合影，站成了前排 3人，后排 7人，现摄影师要从后排
7人中抽 2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．
例10．（2022·浙江·高三专题练习）在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排 、 、 、 、 共
5个人在 5天中值班，每天 1人，每人值班 1天，但4月28 日时接到通知 、员工必需出差，故调整为
每天 1人，每人至少值班 1天，现在只有 、 、 共 3个人在五一长假期间共有______种不同的值班方
案（用数字作答）．
例11．（2022·全国·高三专题练习）南昌花博会期间，安排 6位志愿者到 4个展区提供服务，要求甲、乙
两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有
________种．
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区
建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有 3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家
车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（）
A．144 B．24 C．72 D．60
2．（2022·山东临沂·一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的范围是： ，
为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助
同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的 7位数字 1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3
不变，那么可以得到大于3.14 的不同数字的个数为（）
A．720 B．1440 C．2280 D．4080
3．（2022·河南南阳·高三期末（理））2021 年8月17 日，国家发改委印发的《2021 年上半年各地区能耗
双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等
12 个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路
段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关
闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不
同的关闭方案有（）
A．15 种B．16 种C．17 种D．18 种
4．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会
议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，
这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女
教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（）
A．18 种B．36 种C．68 种D．84 种
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））把 枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到
枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为（）
A．B．C．D．
6．（2022·广东高州·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021 年人工智能方向招收了6名研究生．丁教
授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共 5个方向展开研究，每
个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习
人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（）
A．480 种B．360 种C．240 种D．120 种
7．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中取出 4个不同的数排成一排，
依次记为a，b，c，d，则使得 a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（）
A．1224 B．1800 C．1560 D．840
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