《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第30讲 圆锥曲线中的存在性问题（解析版）

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专题 30 圆锥曲线中的存在性问题
方法总结：
解决存在性问题的一些妙招：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后
再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，
其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：
① 直接法：利用条件与辅助变量直接表示，并进行求解
② 间接法：若无法直接求出，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），
运用方程思想求解。
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 、
，点 在椭圆 上，且满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，过点 且斜率不为零的直线 交椭圆 于不同的两点 、 ，则在 轴上是否存在定
点 ，使得 平分 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在， .
【解析】
【分析】
（1）分析可知 ，可得出椭圆 的两个焦点的坐标，利用椭圆的定义可求得 的值，可得出 的
值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）设直线 ，设点 、 、 ，将直线 的方程与椭圆方程联立，列出韦
达定理，分析可知 ，利用斜率公式结合韦达定理求出 的值，即可得出结论.
(1)
解：（1）因为 ，所以， ，即 ，所以，
又点 在椭圆 上， 、 ，
且由椭圆定义得 ，
则 ， ，则椭圆 的标准方程为 .
(2)
解：假设存在定点 满足要求，因为直线 斜率不为零，所以设直线 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
因为直线 平分 ，则 ，即 ，
，
整理得 ，
，由于 ， ，所以存在 满足要求．
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
例2．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，设双曲线 的右准
线 与其两条渐近线的交点分别为 、 ，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设动直线 与双曲线 相交于点 、 ，若 ，求证：存在定圆与直线 相切，并求该定圆的
方程．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定圆方程为 .
【解析】
【分析】
（1）由二倍角的正切公式可求得 ，可得出 ，利用双曲线 的右准线方程可求得 的值，可得
出 的值，由此可得出双曲线 的方程；
（2）分析可知直线 、 的斜率都存在，可设直线直线 的方程为 ，设点 ，
将直线 的方程与双曲线 的方程联立，求出 ，可得出 的值，利用等面积法可求得原点 到
直线 的距离，即可得出结论.
(1)
解：设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
由已知可得 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，则 ，所以， ，
双曲线 的右准线方程为 ，可得 ， ，
故双曲线 的方程为 .
(2)
解：若直线 、 中有一条直线的斜率不存在时，
则直线 、 分别与两坐标轴重合，则这两条直线中有一条直线不与双曲线 相交，不合乎题意；
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