《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第27讲 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）

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第27 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
方法总结：
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设 ，至于 坐标是否需要解出，则看
题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于 （或 ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，
则可利用韦达定理进行整体代入，从而设而不求
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。
2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主
要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形
式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。
3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式： ，此直线不能表示竖直线。
（2） ，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。
4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线 ， 上两点 ，所以
或
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。
典型例题：
例1．（2022·山东临沂·一模）已知椭圆 C：(，)的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，直线 被 C截得的线段长为 .
(1)求C的方程：
(2)若A和B为椭圆 C上在 x轴同侧的两点，且 ，求四边形 面积的最大值及此时 的值.
【答案】(1) ；
(2)最大面积为 ， ＝ .
【解析】
【分析】
(1)根据离心率表示出 a、b、c的关系，再求出被 截得的弦长，根据该弦长为 即可求出
a、b、c，从而确定椭圆的标准方程；
(2) ，根据椭圆的对称性，延长 交椭圆与 C、D，构造平行四边形 ABCD，
根据 即可计算四边形 面积的最大值，并求出此时 的取值.
(1)
， ， ，∴ ，
∴椭圆标准方程为 ，
∴ ，由题可知 ，
；
(2)
，如图，
延长 交椭圆与 C、D，根据椭圆的对称性可知，四边形 ABCD 为平行四边形，且四边形 面
积为四边形 ABCD 面积的一半.
由题知， 斜率不为零，故设 方程为 ，
①，
设 ，∵ ，∴ ，
故 ，
O到 的距离 ，
＝
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
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