《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第26讲 圆锥曲线压轴小题（原卷版）

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第26 讲 圆锥曲线压轴小题
方法总结：
1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数 的比例关系（只需找出其中两个参
数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考
虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与 有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 进行表示，再
利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如
果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围
的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于 的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： ，双曲线：
典型例题：
例1．（2022·四川·模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为 ，点 F关于直线
的对称点为 M，过点 F的直线 l与抛物线 C交于 P，Q两点，当 时，直线 PQ 的
斜率为___________.
例2．（2022·全国·模拟预测）已知 A为双曲线 的左顶点，F为双曲线 C的右焦
点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点 P（点 P在第二象限），PA 平行于另一条渐近线，且
，则 ______.
例3．（2022·全国·模拟预测）已知点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点.为双
曲线 上一点，且 ，当 时，双曲线 的焦点到渐近线的距离是______.
例4．（2022·全国·模拟预测）已知 是抛物线 上一点，点 ， ，则 周长的
最小值为______．
例5．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的
右焦点 的直线 ，与 的右支分别交于 两点，且 ， （ 为坐标原点），则
双曲线 的离心率为______．
例6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆 与双曲线
有相同的焦点 ，点 是两曲线的一个公共点，且 ，若双曲线为等
轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
例7．（2022·四川·三模（理））已知在直角坐标平面内，两定点 ， ，动点 Q满足以 FQ 为
直径的圆与 x轴相切．直线 FQ 与动点 Q的轨迹 E交于另一点 P，当 时，直线 PQ 的斜率为___
___．
例8．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知点 F（c，0）为双曲线 C：
x2
a2－y2
b2＝1
（a＞0，b＞0）的
右焦点，点 B为双曲线虚轴的一个端点，直线 BF 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线 C的离心率为___
_______．
例9．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））若双曲线 的一个焦点 F关于
其一条渐近线的对称点 P在双曲线上，则双曲线的离心率为______.
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M为圆心的圆
.设点 满足：圆 M上存在点 P，使 ，则实数 t的取值范围是
（）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，当满足
时，过点 作 的平行线 l交双曲线于 A，B两点，线段 AB 中点为
Q，则直线 PQ 的斜率为（）
A．B．C．D．4
3．（2022·全国·模拟预测）设 F为抛物线 焦点， 是 上的一点， ， ，
则满足条件的点 的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2022·安徽·高三开学考试（理））已知抛物线 的焦点为 F，过 F且斜率为 的直
线l与C交于 A，B两点， ， ，若 ， 满足 ， ，且
，则 （）．
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则
的值为（）
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