《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第24讲 新信息背景下的数列问题（原卷版）

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第24 讲 新信息背景下的数列问题
方法总结：
解决此类问题的一些技巧：
（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义
与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结
论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识
与方法。
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复
杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）对于数列 ，规定数列 △ 为数列 的一阶差分数列，其中△
；一般地，规定 △ 为 的 阶差分数列，其中△ △ △ ，且
， ．
(1)已知数列 的通项公式 ．试证明 △ 是等差数列；
(2)若数列 的首项 ，且满足△ △ ， ，求数列 及 的通项公
式；
(3)在（2）的条件下，判断 是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，前 项和为 ．设 与 是常数，
若对一切正整数 ，均有 成立，则称此数列为“ ”数列．
(1)若等差数列 是“ ”数列，求 的值；
(2)若数列 是“ ”数列，且 ，求数列 的通项公式．
例3．（2022·北京海淀·高三期末）已知 行 列 的数表 中，对任意的
， ，都有 .若当 时，总有 ，则称数表 A为典型表，
此时记 .
(1)若数表 ， ，请直接写出 B，C是否是典型表；
(2)当 时，是否存在典型表 A使得 ，若存在，请写出一个 A；若不存在，请说明理由；
(3)求 的最小值.
例4．（2022·北京房山·高三期末）若数列 满足 ，则称
为 数列．记 ．
(1)写出一个满足 ，且 的 数列 ；
(2)若 ，证明 数列 是递减数列的充要条件是 ；
(3)对任意给定的整数 ，是否存在首项为 的 数列 ，使得 ？如果存在，写出一个满足
条件的 数列 ；如果不存在，说明理由.
例5．（2022·北京东城·高三期末）对于给定的正整数 和实数 ，若数列 满足如下两个性质：①
；②对 ， ，则称数列 具有性质 .
(1)若数列 具有性质 ，求数列 的前 项和；
(2)对于给定的正奇数 ，若数列 同时具有性质 和 ，求数列 的通项公式；
(3)若数列 具有性质 ，求证：存在自然数 ，对任意的正整数 ，不等式
均成立.
例6．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 .若对任意正整数 ，总存在正整数 ，使
得 ，则称是“ 数列”.
(1)若数列 的前 n项和 ，证明： 是“ 数列”；
(2)设 是等差数列，其首项 ，公差 .若 是“ 数列”，求 的值；
例7．（2022·全国·高三专题练习）若实数数列 满足 ，则称数列 为“P数
列”．
(1)若数列 是 P数列，且 ， ，求 ， 的值；
(2)求证：若数列 是 P数列，则 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)若数列 是 P数列，且 中不含值为零的项，记 的前 2025 项中值为负数的项的个数为 m，求
m的所有可能取值．
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