《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第22讲 数列中的范围与最值问题（解析版）

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第22 讲 数列中的范围与最值问题
方法总结：
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，
所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点，判断数列的单调性的方法：
（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。
由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函
数，得到函数的单调性后再结合 得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，
通常的手段就是作差（与 0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与 1比较，但要求是正项数列）
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，若对任意的
， 恒成立，则实数 的取值范围是__．
【答案】 ， ，
【解析】
【分析】
根据题意求出等差数列 的首项和公差，写出前 项和公式，求出 的最小值，再求关于 的不等式的
解集．
【详解】
解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 ，
解得 ，
又 ，
所以当 或 5时， 取得最小值，最小值为 ，
所以 取得最大值，最大值为 10，
由 任意的 恒成立，
所以 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
例2．（2022·江苏南通·一模）设 是等比数列 的前 项和， ，且 、 、 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求使 成立的 的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）求出等比数列 的公比，然后利用等比数列的通项公式可求得 ；
（2）利用等比数列的求和公式以及已知条件可得出关于 的不等式，解之即可得解.
(1)
解：设等比数列 的公比为 ，则 ，
由 ，
故.
(2)
解： ，则 ，
整理得 ，
当 为偶数时， ，不合乎题意；
当 为奇数时，则 ，可得 ，可得 .
因此， 的最大值为 .
例3．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知数列 和 满足 ， ，
.
(1)求 与 ；
(2)设 的前 n项和为 ，若不等式 ，对一切 都成立，求实数 的最小值.
【答案】(1) ， ；
(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用累加法，结合等比数列前 n项和公式计算得 ，再借助前 n项和第 n项的关系推理计
算 作答.
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