《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第21讲 数列求和（解析版）

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专题 21 数列求和
方法总结：
1.等差数列求和公式：
2.等比数列求和公式：
3.错位相减法：
特点： 等差 等比
对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程
我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。
而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等
比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求
和
4.裂项相消：
特点： 的表达式能够拆成形如 的形式（ ），从而在求和时可以进行相
邻项（或相隔几项）的相消。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时
可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。
例：
可知通项公式为 ，那么在求和的过程中可拆成 3部分： 分别求和后再相加
5.分组求和
（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一
组求和，再统计前 项和中含多少个周期即可
（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇
数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），
二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻
项相加看是否存在规律，便于求和
6.倒序相加：若数列 中的第 项与倒数第 项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如
果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，
典型例题：
例1．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使得包括 与 在内的这 个数成等差数列，设其公差为 ，求
的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到 ，两式相减求得 ，进而得到数列 是首项为 1公比
为3的等比数列，即可求解；
（2）由题意得到 ，结合乘公比错位相加法求和，即可求解.
(1)
解：因为 ，所以 ，
两式相减可得 ，所以 ，
令 ，可得 ，所以 ，
所以数列 是首项为 1公比为 3的等比数列，所以 .
(2)
解：由题意，可得 ，所以 ，
所以 ，
，
两式相减可得
所以 .
例2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知在单调递增的等差数列 中， ， 为方程
的两个实根．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设 的公差为 d，首先求出方程的解，即可得到 ， ，即可求出公差 ，即可得解；
（2）由（1）可得 ，再利用错位相减法求和即可；
(1)
解：设 的公差为 d，由 ，解得 或 ，
因为 ， 为方程 的两个实根，且 单调递增，
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