《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第19讲 等差数列、等比数列的综合问题（解析版）

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第19 讲 等差数列、等比数列的综合问题
方法总结：
1.等差数列性质与等比数列性质：
等差数列 等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中
项
等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列
相邻 项和 成等差数列 成等比数列
2.如何判断一个数列是等差（或等比）数列
（1）定义法（递推公式）： （等差）， （等比）
（2）通项公式： （等差）， （等比）
（3）前 项和： （等差）， （等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项
3.如何证明一个数列是等差等比数列：
（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即 ，均有：
（等差） （等比）
典型例题：
例1．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和 满足：
．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和 ；
（3）在（2）的条件下，对任意 ， 都成立，求整数 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）7．
【解析】
（1）由所给等式根据 的关系证明数列 为等差数列，确定数列的首项与公差即可写出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和；（3）作差证明数列 是递增数列，根据题意 ，解不等式即可.
【详解】
（1）∵ ，①
∴ ，②
①-② 得 ．
∴ ，化简 ．
∵ ，∴ ．
∴ 是以 1为首项，2为公差的等差数列．
∴ ．
（2） ．
∴
．
(3)由(2)知 ，
．
∴数列 是递增数列，则 ，
∴ ，解得 ，
∴整数 的最大值是 7．
【点睛】
裂项相消求和法适用于通项公式是分式形式的数列求和，求和时把每一项拆成一个或多个分式的差的形式，
然后在累加时抵消中间项.常见的拆项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）.
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 各项均为正数，其前 n项和 ，
数列 是公差为正数的等差数列，且 成等比数列
（1）求数列 的通项公式;
（2）令 求数列 的前 n项和
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