《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第11讲 利用导数解决零点问题压轴题（解析版）

3.0 envi 2025-03-07 5 4 2.53MB 52 页 3知币
侵权投诉
第11 讲 利用导数解决零点问题压轴题
方法总结：
1.函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
2.解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:
（1）方程法：直接解方程得到函数的零点；
（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；
（3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解.
3.利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由
f
(
x
)
=0
分离变量得出
a=g
(
x
)
，将问题等价转化为直线 与函数
y=g
(
x
)
的图
象的交点问题.
典型例题：
例1．（2022·北京朝阳·高三期末）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在 处切线的斜率；
(2)求函数 的极大值；
(3)设 ，当 时，求函数 的零点个数．并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义可求解；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求得极值；
（3）先讨论 时，函数 的零点个数，再讨论 时，利用零点定义将已知转化为讨论函数
与 的交点个数，研究函数 的单调性及最值即可得解.
(1)
由 ，知 ，即切点
求导 ，则切线的斜率
所以曲线 在 处切线的斜率为 .
(2)
函数 的定义域为 ，求导 ，
令 ，得
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减；
故当 时，函数取得极大值
所以函数 的极大值为
(3)
函数 ，求导 ，
当 时， ，故函数在 上单调递增，
又 ， ，所以方程 在 有且仅有一个根，
即函数 在 有一个零点.
当 时，讨论函数 的零点个数，即讨论方程 的根的个数，
即讨论方程 的根的个数，即讨论函数 与 的交点个数，
求导 ，令 ，得 或
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减；
又 ， ，又 ，所以函数 与 没有交点，
即函数 在 上无零点.
综上可知，当 时，求函数 的零点个数为 个.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法：
（1）利用导数研究函数 的极（最）值，转换为函数 的图像与 x轴的交点问题，应用分类讨论思
想，在含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；
（2）参数分离，即由 分离参变量，得到 ，转化为研究 与直线 的图像的
交点问题.
例2．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数 ， ， ．
(1)当 时，函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)当 时，不等式 有且仅有两个整数解，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) , .
【解析】
【分析】
《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第11讲 利用导数解决零点问题压轴题（解析版）.docx

共52页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：52 页 大小：2.53MB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 52
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注