《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第8讲 一元和多元不等式的证明（原卷版）

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第8讲 一元和多元不等式的证明
方法总结：
1.证明一元不等式主要的方法有三个：
第一个方法是将含 的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数
的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式
则很难分析出单调性
第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为 的形式，若能证明
，即可得： ，本方法的优点在于对 的项进行分割变形，可将较复杂的
解 析 式 拆 成 两 个 简 单 的 解 析 式 。 但 缺 点 是 局 限 性 较 强 ， 如 果 与 不 满 足
，则无法证明 。所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失
效的时候可以考虑尝试此法。
第三个方法是适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
2.证明多元不等式通常的方法有三个
（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元
（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来
证明不等式
（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 存在三个极值点 ，且 ，求 的取值范围，并证明： ．
例2．（2022·全国·高三专题练习（理））设 a为实数，函数 f(x)＝ －2x＋2a，x∈R．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当 a＞ln2－1且x＞0时， －2ax＋1．
例3．（2022·云南昭通·高三期末（理））已知函数 .
(1)设 是 的极值点，求 的单调区间；
(2)当 时，求证： .
例4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .
例5．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知函数 （ 是自然对数的底数
）.
(1)若 ，证明： 在区间 上不存在零点；
(2)若 ，函数 有两个极值点 ， .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明：
过关练习：
1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，证明 .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
(2)当 时，证明： .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 均为不足近似值.
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)证明：当 时，不等式 恒成立.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 是函数 的一个极值点，求 的值；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： （ 为自然对数的底数）．
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证： .参考数据： .
6．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
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