《2022年新高考地区名校地市高三数学一模好题分类汇编》专题09 函数与导数解答题（解析版）

3.0 envi 2025-03-07 28 4 2.69MB 82 页 3知币
侵权投诉
专题 09 函数与导数解答题
一、解答题
1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数 ．
(1)证明：函数 在 上存在唯一的零点；
(2)若函数 在区间 上的最小值为 1，求 a的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，即可得到 在 上单调递增，再计算 ，构造函数，利用导数
说明 ，再计算 ，即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）可知存在唯一的 ，使得 ，即 ，即可得到 ，即可
得到 ，再根据 的单调性得到 ，即可得到 ，从而求出 的值；
(1)
证明：∵ ，∴ ．
∵ 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，
∴函数 在 上单调递增．
又 ，令 ， ，
则 在 上单调递减， ，故 ．
令 ，则 ，
所以函数 在 上存在唯一的零点．
(2)
解：由（1）可知存在唯一的 ，使得 ，即 （*）．
函数 在 上单调递增，
∴当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调通增；
∴ ，
由（*）式得 ．
∴ ，显然 是方程的解，
又∵ 是单调递减函数，方程 有且仅有唯一的解 ，
把 代入（*）式，得 ，∴ ，即所求实数 的值为 ．
【点睛】
思路点睛：函数的零点问题，一般需要利用函数的单调性和零点存心定理进行判断，对于导数零点不易求
的情形，可通过虚设零点来处理.
2．（2022·河北唐山·高三期末）过点 可以作出曲线 的两条切线，切点分别为 A，B两点．
(1)证明： ；
(2)线段 AB 的中点 M的横坐标为 ，比较 与 a的大小关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）令 ，求导后，设 ， ，则 ， ，则方程
有两根 ， ．令 ，则 有两个零点．求导后利用函数的单调性
求得最小值小于零得出结论. （2）依题设，只需比较 与 的大小关系．由（1）知：
， ，两式相减后用 表示出 ，由
，，取 ，则 ，构造函数
， ，求导后利用函数的单调性证得结论.
(1)
证明：令 ，则 ，设 ， ，则
， ，则方程 有两根 ， ．
令 ，则 有两个零点．
若 ，则 单调递增，至多一个零点，不合题意．
因此， ．此时， ， ．
当 时， ， 单调递减：
当 时， ， 单调递增
当 时， 取得最小值 ，若要使 有两个零点，则需 ，即 ．
综上所述， ．
(2)
《2022年新高考地区名校地市高三数学一模好题分类汇编》专题09 函数与导数解答题（解析版）.docx

共82页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：82 页 大小：2.69MB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 82
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注