专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】
【人教版】
【题型 1 抛物线与 x轴的交点情况】........................................................................................................................1
【题型 2 抛物线与 x轴交点上的四点问题】............................................................................................................3
【题型 3 由二次函数解一元二次方程】....................................................................................................................6
【题型 4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】.......................................................................................9
【题型 5 由二次函数的图象解不等式】..................................................................................................................11
【题型 6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】.............................................................................................13
【知识点 1 二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与 x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0
抛 物 线 与 x
轴 交 于 ， 两
点，且 ，
此时称抛物线与 x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛 物 线 与 x
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与 x轴相切
一元二次方程
有 两 个 相 等 的 实 数 根
△＜0
抛 物 线 与 x
轴无交点，此时称抛物线与 x轴相
离
一元二次方程
在实数范围内无解（或
称无实数根）
【题型 1 抛物线与 x轴的交点情况】
【 例 1】（2022 春•西湖区校级期末）抛物线 y＝ （ x﹣x1） （ x﹣x2）+mx+n与x轴只有一个交点
（x1，0）．下列式子中正确的是（　　）
A．x1﹣x2＝mB．x2﹣x1＝mC．m（x1﹣x2）＝nD．m（x1+x2）＝n
【分析】由抛物线与 x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得 x1，x2与m的关系．
【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与 x轴只有一个交点，
∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，
∴x22﹣x1x
+x1
2=¿
（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，
∴x1+x2﹣m＝2x1，即 x2﹣x1＝m，
故选：B．
【变式 1-1】（2022 春•澧县校级月考）抛物线 y＝x2+2x3﹣ 与坐标轴的交点个数有（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由 b24﹣ac 的大小可判断抛物线与 x轴交点个数，由 c的大小可判断抛物线与 y轴的交点，进
而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x3﹣ ，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴b24﹣ac＝22+12＝16＞0，
∴抛物线与 x轴有 2个交点，
∵c＝﹣3，
∴抛物线与 y轴交点为（0．﹣3），
∴抛物线与坐标轴有 3个交点，
故选：D．
【变式 1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线 y＝ ﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点 A（m﹣
2，n），B（m+4，n），则 n的值为（　　）
A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27
【分析】根据点 A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线 x＝m+1．故设抛物线解析式为 y＝﹣3（x﹣
m1﹣ ）2，直接将 A（m2﹣ ，n）代入，通过解方程来求 n的值．
【解答】解：∵抛物线 y＝﹣3x2+bx+c过点 A（m2﹣ ，n）、B（m+4，n），
∴对称轴是直线 x＝m+1，
又∵抛物线 y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（m+1，0），
∴设抛物线解析式为 y＝﹣3（x﹣m1﹣ ）2，
把A（m2﹣ ，n）代入，得：
n＝﹣3（m2﹣ ﹣m1﹣ ）2＝﹣27，
即n＝﹣27．
故选：D．
【变式 1-3】（2022 春•汉滨区期中）已知抛物线 y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为 6，对称轴为
x＝3，则抛物线的顶点 P关于 x轴对称的点 P'的坐标是（　　）
A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）
【分析】根据抛物线 y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为 6．对称轴为直线 x＝3，可以得到 b、c的值，
然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点 P的坐标，然后根据关于 x
轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点 P关于 x轴的对称点的坐标．
【解答】解：设抛物线 y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线 y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为 6，对称轴为直线 x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）24﹣x1x2＝36，
−b
2×1=¿
3，
∴（﹣b）24×﹣c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为 y＝x26﹣x＝（x3﹣ ）29﹣ ，
∴顶点 P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于 x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
【题型 2 抛物线与 x轴交点上的四点问题】
【例 2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为
二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若 s，t（s＜t）是关于 x的方程 1+（x
﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且 m＜n，则 m，n，s，t的大小关系是（　　）
A．s＜m＜n＜tB．m＜s＜n＜tC．m＜s＜t＜nD．s＜m＜t＜n
【分析】由 y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与 x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛
物线 y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线 y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得 m，n，s，t
的大小关系．
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