专题22 与二次函数相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（原卷版）

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专题 22 与二次函数相关的压轴题

解答题

1．（2022·湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：

如图 1所示，该类型图象上任意一点 M到定点 F（0，）的距离 MF，始终等于它到定直线 l：y＝﹣

上的距离 MN（该结论不需要证明），他们称：定点 F为图象的焦点，定直线 l为图象的准线，y＝﹣ 叫

做抛物线的准线方程．其中原点 O为FH 的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线 y＝x2，其焦点坐标为

F（0，），准线方程为 l：y＝﹣ ．其中 MF=MN，FH=2OH=1．

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线 y＝2x2的焦点坐标和准线 l的方程：　　，　　．

(2)【技能训练】如图 2所示，已知抛物线 y＝x2上一点 P到准线 l的距离为 6，求点 P的坐标；

(3)【能力提升】如图 3所示，已知过抛物线 y＝ax2（a＞0）的焦点 F的直线依次交抛物线及准线 l于点

A、B、C．若 BC＝2BF，AF＝4，求 a的值；

(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 C

将一条线段 AB 分为两段 AC 和CB，使得其中较长一段 AC 是全线段 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足：

＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点 C称为线段 AB 的黄金分割点．

如图 4所示，抛物线 y＝x2的焦点 F（0，1），准线 l与y轴交于点 H（0，﹣1），E为线段 HF 的黄金分

割点，点 M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME 的面积值．

2．（2022·江苏无锡）已知二次函数图像的对称轴与 x轴交于点 A（1，0），图像与 y轴

交于点 B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点 C在点 D的左侧），且．

(1)求该二次函数的表达式；(2)若点 C与点 B重合，求 tan∠CDA 的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得

tan∠CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2022·山西）综合与探究：如图，二次函数的图象与 x轴交于 A，B两点（点 A在点

B的左侧），与 y轴交于点 C，点 P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 P的横坐标为 m．过

点P作直线轴于点 D，作直线 BC 交PD 于点 E

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 BC 的函数表达式；(2)当是以 PE 为底边的等腰三角形

时，求点 P的坐标；(3)连接 AC，过点 P作直线，交 y轴于点 F，连接 DF．试探究：在点 P运动的

过程中，是否存在点 P，使得，若存在，请直接写出 m的值；若不存在，请说明理由．

4．（2022·四川宜宾）如图，抛物线与 x轴交于、两点，与 y轴交于点

，其顶点为点 D，连结 AC．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点 D的坐标；(2)在抛

物线的对称轴上取一点 E，点 F为抛物线上一动点，使得以点 A、C、E、F为顶点、AC 为边的四边形为平

行四边形，求点 F的坐标；(3)在（2）的条件下，将点 D向下平移 5个单位得到点 M，点 P为抛物线的对

称轴上一动点，求的最小值．

5．（2022·湖北恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与 y轴交于点．

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