专题22 函数与公共点问题【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

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题型一：抛物线的形状、位置都固定
【例 1】（2021 焦作二模）如图,抛物线 y=x2+2x+c 与x轴的正半轴交于点 B,与x轴的负半轴交于点 A,与y
轴的负半轴交于点 C,且OA=2OB.
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标;
（2）将抛物线 y=x2+2x+c 在点 A,C之间的部分(含A,C两点)记为 G,若二次函数 y=-x2-2x+m 的图象与 G只
有一个公共点,求m的取值范围.
【解析】解:(1)设点 B的坐标为(n,0),n>0.
OA=∵2OB,且点 A在x轴的负半轴上,
∴点A的坐标为(-2n,0).
∵抛物线的对称轴为直线 x=-
2
2×1
=-1,
∴
n+¿¿
=-1,
n=∴2,∴点B的坐标为(2,0).
把B(2,0)代入 y=x2+2x+c,得c=-8,
∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-8.
专题 22 函数与公共点问题
题型精讲
知识导航
y=x∵2+2x-8=(x+1)2-9,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-9).
(2)易知 A(-4,0),C(0,-8).
把C(0,-8)代入 y=-x2-2x+m,得m=-8.
把A(-4,0)代入 y=-x2-2x+m,得m=8.
当二次函数 y=-x2-2x+m 的图象的顶点为(-1,-9)时,m=-10.
结合图象分析可知,符合题意的 m的取值范围是-8<m≤8 或 m=-10.
题型二：抛物线的形状或位置不固定
【例 2】（2021 广东广州）已知抛物线 y=x2-(m+1)x+2m+3.
（1）当 m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上;
（2）该抛物线的顶点随着 m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标;
（3）已知点 E(-1,-1)，F(3,7)，若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.
【解析】解:(1)当m=0时,y=x2-x+3.
当x=2时,y=4-2+3=5,
故点(2,4)不在该抛物线上.
(2) y=x∵2-(m+1)x+2m+3=(x-
m+1
2
)2+
-m2+6m+11
4
,
∴抛物线的顶点坐标为(
m+1
2
,
-m2+6m+11
4
).
当顶点移动到最高处时,顶点的纵坐标最大,即
-m2+6m+11
4
的值最大.
∵
-m2+6m+11
4
=-
(m-3)2+5,
∴当m=3时,
-m2+6m+11
4
取得最大值,为5,此时
m+1
2
=2,
∴当顶点移动到最高处时,该抛物线的顶点坐标为(2,5).
(3)设线段 EF 所在直线的表达式为 y=kx+b.
将E(-1,-1),F(3,7)分别代入,
得
{
-k+b=−1,
3k+b=7,
解得
{
k=2,
b=1,
∴线段 EF 所在直线的表达式为 y=2x+1.
联立
{
¿x+2m+3,¿y=2x+1,¿
得x2-(m+3)x+2m+2=0,
解得
{
x1=2,
y1=5,
{
x2=m+1,
y2=2m+3.
当x1=x2时,该抛物线与线段 EF 只有一个交点,
此时
m+1
2
=1.
当x1≠x2时,若该抛物线与线段 EF 只有一个交点,则m+1<-1或m+1>3,
∴
m+1
2
<-
1
2
或
m+1
2
>
3
2
.
综上所述,若该抛物线与线段 EF 只有一个交点,则该抛物线顶点横坐标
m+1
2
满足
m+1
2
=1或
m+1
2
<-
1
2
或
m+1
2
>
3
2
.
1．（2021·江苏南京市）已知二次函数 的图像经过 两点．
（1）求 b的值．
（2）当 时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设 是该函数的图像与 x轴的一个公共点，当 时，结合函数的图像，直接写出 a的取
值范围．
【答案】（1） ；（2）1；（3） 或 ．
【分析】
（1）将点 代入求解即可得；
（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；
（3）分 和 两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】
提分训练
1b 
0a
4
5
a
 
2,1 , 2, 3 
0a
0a
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