专题21.9 二次函数与最值的六种考法-重难点题型（举一反三）（沪科版）（原卷版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.9 二次函数与最值的六种考法-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 定轴定区间】
对于二次函数 在 上的最值问题（其中 a、b、c、m和n均为定值，
表示 y的最大值， 表示 y的最小值）：
（1）若自变量 x为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值．
（2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ．
（3）若 ，如图③，当， ；当 ， ．
（4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ．
x=-
b
2
a
x=-
b
2
a
x=-
b
2
a
x=-
b
2
a
④
③
②
①
【知识点 2 动轴或动区间】
对于二次函数 ，在 （m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论
m，n与 的大小．
【题型 1 二次函数中的定轴定区间求最值】
【例 1】（2021 春•瓯海区月考）已知二次函数 y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2 的取值范围内，下列
说法正确的是（　　）
A．有最大值 4，有最小值 0 B．有最大值 0，有最小值﹣4
C．有最大值 4，有最小值﹣4 D．有最大值 5，有最小值﹣4
【变式 1-1】（2020 秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3 时，二次函数 y＝x23﹣x+m最大值为 5，则 m＝　 　．
【变式 1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数 y＝x24﹣x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3 时，y的最大值为 a，
最小值为 b，则 a﹣b的值为　 　．
【变式 1-3】（2020 秋•番禺区校级期中）若函数 y＝x26﹣x+5，当 2≤x≤6 时的最大值是 M，最小值是 m，
则M﹣m＝　 　．
【题型 2 二次函数中的动轴定区间求最值】
【例 2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数 y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2 时有最小值﹣2，则 m＝
（　　）
A．3 B．﹣3或
C．3或
−3
8
D．﹣3或
−3
8
【变式 2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数 y＝ax24﹣ax 1﹣，当 x≤1 时，y随x的增大而增大，且﹣
1≤x≤6 时，y的最小值为﹣4，则 a的值为（　　）
A．1 B．
3
4
C．
−3
5
D．
−1
4
【变式 2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数 y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中 x是自变量），当 x≥2 时，y随x
的增大而减小，且﹣2≤x≤1 时，y的最小值为 15，则 a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．
−❑
√
2
或
❑
√
2
C．﹣2 D．1
【变式 2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数 y
¿1
2
（m1﹣）x2+（n6﹣）x+1（m≥0，n≥0），当 1≤x≤2 时，
y随x的增大而减小，则 mn 的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．
49
4
【题型 3 二次函数中的定轴动区间求最值】
【例 3】（2020 秋•马鞍山期末）当 a1≤﹣x≤a时，函数 y＝x22﹣x+1 的最小值为 1，则 a的值为　 　．
【变式 3-1】（2021•济南模拟）函数 y＝﹣x2+4x3﹣，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为
1，则 m的取值范围是（　　）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
【变式 3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数 y＝ax2﹣x+2 的图象经过点（2，﹣1），当 t≤x≤2 时，y有最大
值3，最小值﹣1，则 t的取值范围应是（　　）
A．﹣6≤t≤2 B．t≤ 2﹣C．﹣6≤t≤ 2﹣D．﹣2≤t≤2
【变式 3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数 y＝（x+1）24﹣，当 a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为
2a，最大值为 2b，则 a+b的值为（　　）
A．2
❑
√
3
B．
−7
2
C．
❑
√
3−¿
2 D．0
【题型 4 二次函数中求线段最值】
【例 4】（2020 春•海淀区校级期末）如图，抛物线 y＝x2+5x+4 与x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左
边），与 y轴交于点 C，连接 AC，点 P在线段 AC 上，过点 P作x轴的垂线交抛物线于点 Q，则线段
PQ 长的最大值为　 　．
【变式 4-1】（2020 秋•镇平县期末）如图，直线 y
¿−3
4
x+3 与x轴交于点 C，与 y轴交于点 B，抛物线 y
¿−3
8
x2+3
4
x+3 经过 B，C两点，点 E是直线 BC 上方抛物线上的一动点，过点 E作y轴的平行线交直线
BC 于点 M，则 EM 的最大值为　 　．
【变式 4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线 x＝﹣1的抛物线 y＝x2+bx+c，与 x轴相交于 A，B两点，
其中点 A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点 B的坐标．
（2）点 C是抛物线与 y轴的交点，点 Q是线段 AC 上的动点，作 QD⊥x轴交抛物线于点 D，求线段 QD
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