专题20 勾股定理【知识点清单】-2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型（全国通用）

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专题 20 勾股定理
【知识要点】
知识点一 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 。
变式： ， ， ,,.
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
勾股定理的证明方法：
方法一（图一）： ， ，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为 ，所以
方法三（图三）： ， ，化简得证
c
b
a
H
G
F
E
D
C
B
A
b
c
c
c
a
c
b
a
b
c
c
b
a
E
D
C
B
A
图一 图二 图三
知识点二 勾股数
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整
数时，称 ， ， 为一组勾股数
常见的勾股数：如 ； ； ； 等
扩展：用含字母的代数式表示 组勾股数：
1） （ 为正整数）；
2） （ 为正整数）
3） （ ， 为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
知识点三 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其
中 为斜边
【注意】
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确
定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它们
相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是
钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；
2)定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满
足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边
3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形
是直角三角形
知识点四 直角三角形的性质与判定
性质：1）直角三角形的两个锐角互余。
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3）直角三角形中 30°角所对的边是斜边的一半。
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