专题18 函数与线段、面积等最值问题【考点精讲】（解析版）-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）

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1．二次函数与线段的和差

在x轴上是否存在点 P，使 PB+PA 最短？若存在求出点 P的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。

【方法技巧】（将军饮马模型）在两定点中任选一个点(为了简单起见，常常取轴上的点)，求出该点关于题中的动点运动所

经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连，那么此直线与在 x轴上的交点既是点 P。

2．二次函数与周长

在y轴上是否存在点 P，使△PAD 的周长最小？若存在，求出点 P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。

注意到 AD 是定线段，其长度是个定值，因此只需 PA+PD 最小。

3．二次函数与距离

在直线 BD 下方的抛物线上，是否存在点 P，使点 P到直线 BD 的距离最大？若存在，求出点 P的坐标，并求出最大距离；

若不存在，请说明理由.

因为 BD 是定线段，点 P到直线 BD 的距离最大，意味着△BDP 的面积最大

专题 18 函数与线段、面积等最值问题

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4．二次函数与面积

① 三角形面积最值：找公共边、平移、表示面积

② 四边形面积最值：设出 P点坐标，采用公式法或割补法表示四边形面积

（1）在直线 BD 下方的抛物线上是否存在点 P，使

S△PBD❑

的面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。

过点 P作y轴的平行线，将△PBD 分割成 2个同底的三角形，则：

S△PBD =1

(y上动-y下动)(x右定-x左定)

（2）在直线 BD 下方的抛物线上是否存在点 P，使四边形 DOBP 的面积最大？若存在，求出点 P的坐标，并求出四边形面积

的最大值；若不存在，请说明理由。

四边形 DOBP 是不规则图形，通常用割补法求解，则：

S四边形 DOBP❑= S△DOB❑+ S△DBP❑,

或

S四边形 DOBP❑= S△BOP❑

（3）在抛物线上是否存在点 P，使 S△PBC=2S△ABD？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。

设出动点 P的坐标为(t,t2-2t-3)后，把到图形△ABD 的面积算出，借助于动点坐标把动三角形 PBC 的面积表示出来，再代入

已知中的面积等式求解即可。

题型一：函数与最值问题

【例 1】（2021·山东）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A．

（1）求顶点 A的坐标（用含有字母 m的代数式表示）；

题型精讲

（2）若点，在抛物线上，且，则 m的取值范围是；（直接写出结果

即可）

（3）当时，函数 y的最小值等于 6，求 m的值．

【答案】(1)顶点 A的坐标为；(2) ；(3) 或

【分析】

(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点 A的坐标；

(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分类讨论，分对称轴在 1的左侧、对称轴在 3的右侧、对称轴在 1,3 之间共三种情况分别求出函数的最

小值，进而求出 m的值．

【详解】

解：(1)由题意可知：

抛物线，

∴顶点 A的坐标为；

(2)将代入中，

得到，

将代入中，

得到，

由已知条件知：，

∴，

整理得到：，

解得：，

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