专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关（原卷版）-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升

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专题 04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关
【典例分析】
【例 1——最值存在性问题】
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知抛物线
y
＝
ax
2+
bx
+
c
与
x
轴交于
A
（﹣3，0），
B
（1，0）两点，与
y
轴交于点
C
（0，3），连接
AC
，点
P
为第二象限抛物线上的动点．
（1）求
a
、
b
、
c
的值；
（2）连接
PA
、
PC
、
AC
，求△
PAC
面积的最大值；
【练 1】如图，抛物线
y
＝﹣
x
2+
bx
+
c
与
x
轴相交于
A
、
B
两点，与
y
轴相交于点
C
，且点
B
与点
C
的坐标分
别为
B
（3，0）．
C
（0，3），点
M
是抛物线的顶点．点
P
为线段
MB
上一个动点，过点
P
作
PD
⊥
x
轴于点
D
，若
OD
＝
m
．
（1）求二次函数解析式；
（2）设△
PCD
的面积为
S
，试判断
S
有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；
【练 2】如图，已知抛物线
y
＝
ax
2+
bx
+4（
a
≠0）与
x
轴交于点
A
（1，0）和
B
，与
y
轴交于点
C
，对称轴为
直线
x
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，若点
P
是线段
BC
上的一个动点（不与点
B
，
C
重合），过点
P
作
y
轴的平行线交抛物线于
点
Q
，连接
OQ
，当 x 为多少时，线段
PQ
长度有最值。
【练 3】如图，直线 y x+c与x轴交于点 A（﹣3，0），与 y轴交于点 C，抛物线 y x2+bx+c
经过点 A，C，与 x轴的另一个交点为 B（1，0），连接 BC．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM 的面积的最大值．
【例 2——二次函数中等腰三角形存在性问题】
如图，抛物线
y
＝
ax
2+4
x
+
c
经过
A
（﹣3，﹣4），
B
（0，﹣1）两点，点
P
是
y
轴左侧且位于
x
轴下方抛物
线上一动点，设其横坐标为
m
．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）过点
P
作
PM
⊥
x
轴交直线
BD
于点
M
，试探究是否存在点
P
，使△
PBM
是等腰三角形？若存在，求出
点
m
的值；若不存在，说明理由．
【练 1】如图，抛物线 y＝ax2与直线 y＝2x 在第一象限内交于点 A(2，t)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在 x 轴上是否存在一点 P，使△OAP 是以 OA 为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点 P 的坐标；若不存
在，请说明理由；
【练 2】如图，直线
y x
+2 与
x
轴交于点
B
，与
y
轴交于点
C
，已知二次函数的图象经过点
B
，
C
和点
A
（﹣1，0）．
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