专题02 数轴多动点问题中的分类讨论（解析版）-2021-2022学年七年级数学上学期巧用五个工具解答四类数轴动点问题（人教版）

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专题 02 数轴多动点问题中的分类讨论

解题思路：

第一步：分析题目，作出图形，将动点在数轴上呈现出来（化动为静）.

第二步：用含时间的代数式表示出动点表示的数.

第三步：寻找等量关系，列方程求解问题.

第四步：检查，重点关注分类讨论是否完备.

【典例解析】

例1．（2021·重庆市綦江区期中）数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的两个数的差的绝对值来表

示；例如点 A表示 7、点 B表示-5，AB 之间的距离 AB= =12；已知数轴上两点，M，N对应的数分别

为-2，4，P为数轴上一动点，其对应的数为 x．

（1）若点 P到点 M点N的距离相等，则点 P对应的数为：．

（2）数轴上是否存在点 P到点 M点N的距离之和为 8，若存在，请求出 x的值，若不存在，请说明理由．

（3）当点 P以每分钟一个单位长度的速度，从 O点向左运动时，点 M以每分钟 5个单位长度向左运动，

点N每分钟 20 个单位长度向左运动，它们同时出发几分钟后 P点到点 M点N的距离相等．

【答案】（1）1；（2）存在，x=5 或-3；（3）分钟或分钟.

【解析】解（1）由题意得：4-x=x-（-2）

解得：x=1 ，

则点 P对应的数为：1；

（2）∵MN=6，∴点 P不会在 M、N之间

①当P在M左侧时，4-x-2-x=8，解得 x=-3，

②当P在N右侧时，x-4+x+2=8，解得 x=5，

综上所述，存在这样的 P点，x=-3 或x=5.

（3）解：设出发 t分钟后 P点到点 M点N的距离相等，此时 P、N、M三点表示的数分别为-t、4-20t、-2-

5t，

由题意得：∣-t –(-2-5t) = 4-20∣ ∣ t -(-t)∣，

所以-t +2+5t=4-20t+t，或-t +2+5t=-4+20t-t

解得 t = ，或 t=，

综上所述，分钟或分钟后 P点到点 M点N的距离相等．

例2．（2021·吉林长春市期中）如图，点 A、C、B在数轴上表示的数分别是-3、1、5．动点 P、Q同时出

发，动点 P从点 A出发，以每秒 4个单位的速度沿匀速运动回到点 A停止运动．动点 Q从点 C

出发，以每秒 1个单位的速度沿向终点 B匀速运动，设点 P的运动时间为．

（1）当点 P到达点 B时，点 Q表示的数为____________．

（2）当时，求点 P、Q之间的距离．

（3）当点 P在上运动时，用含 t的代数式表示点 P、Q之间的距离．

（4）当点 P、Q到点 C的距离相等时，直接写出 t的值．

【答案】（1）3；（2）1；（3）PQ=|3t-4|；（4），或，或，或 4．

【解析】解：（1）P到达点 B时，t=2，

则Q点运动距离为 2，Q表示的数为 3.

（2）当 t=1 时，P点表示的数为 1，Q点表示的数为 2 ，

∴P、Q之间的距离为 1．

（3）P点表示的数为-3+4t，Q点表示的数为 1+t，

则PQ=|-3+4t-1-t|=|3t-4|

（4）由题意知，PC=CQ

P点从 A→B时，则|-3+4t-1|=|1+t-1|

解得：t=或t=

P点从 B→A时，P点表示的数为 5-4（t-2）=12-4t，则|12-4t|=|1+t-1|

解得：t=或t=4

综上所述，t的值为，或，或，或 4．

例3．（2021·吉林长春外国语期中）如图，点 A，B在数轴上表示的数分别是，．动点 P从点 A出发，

以每秒 2个单位长度的速度向终点 B运动，动点 Q同时从点 B出发，以每秒 3个单位长度的速度向终点 A

运动．设点 P的运动时间为 t（）秒．

（1）点 P到达点 B用时____________秒，点 Q到达点 A用时___________秒；

（2）点 B与点 Q之间的距离为_____________，点 Q表示的数为_____________；（用含 t的代数式表示）

（3）当点 P与点 Q之间的距离为 15 个单位长度时，求 t的值．

【答案】（1）9；6；（2）3t；10-3t；（3）或．

【解析】解：（1）∵点 A，B在数轴上表示的数分别是-8，10，

∴AB=10-(-8)=18，

点P到达点 B用时 18÷2=9（秒），点 Q到达点 A用时 18÷3=6（秒）

（2）点 B与点 Q之间的距离为 3t，点 Q表示的数为 10-3t；

（3）由题意得：P点表示的数为-8+2t，Q表示的数为 10-3t

|-8+2t -10+3t|=15

解得：t=或t= .

综上所述，t的值为或．

例4．（2021·江苏江阴期中）数轴上有 A

、

C三个小球，分别对应的数是 a

、

c，且满足 a是绝对值

最小的正整数，B球在原点的左侧且到原点的距离是 5，C球在 A球的右侧，且到 B球的距离是到 A球距离

的4倍，三个球都在数轴上同时开始运动，A球向左运动，运动速度为每秒 2个单位长度，B

、

C两球向右

运动，运动速度分别为每秒 4个单位长度和 1个单位长度.

（1）a= ；b= ；c= ．

（2）小球 A碰到 B后按原来的速度立刻返回，B球仍按原速原方向继续前行，请问：小球 A在何时何地遇

到小球 B；当 B追上 C时停止运动，此时 A球所在的位置在哪里？

（要有解答过程）

（3）在（2）的条件下，整个运动过程中何时三个球中的一个球到另外两个球的距离相等．

（直接写出结果）．

【答案】（1）1， -5， 3；（2）小球 A在1秒后在数轴上表示的点遇到小球 B；当 B追上 C时，A球

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