专题01 五个工具及数轴单动点问题中的分类讨论（原卷版）-2021-2022学年七年级数学上学期巧用五个工具解答四类数轴动点问题（人教版）

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专题 01 五个工具及数轴单动点问题中的分类讨论

工具一、含绝对值的方程

原理：若|x|=a （a>0），则 x=a或x=－a

若|x|=|a|，则 x=a或x=－a.

例：解方程

（1）|x－1|=2；（2）|x+1|=2|2+x|

解：（1）x－1=2 或x－1=－2

即x=3 或x=－1

（2）x+1=2（2+x）或 x+1=－2（2+x）

即x+1=4+2x或x+1=－4－2x

即x=－3或x= .

工具二、数轴上点移动规律

数轴上点 A表示的数为 x，A点向右移动 b个单位长度后到达点 B；A点向左移动 c个单位长度到达点 C；

则B点表示的数为 x + b ；C点表示的数为 x － c

简记为：{ 左减右加 }

工具三、速度、时间、运动距离之间的关系及用时间、速度表示数轴上点代表的数

路程=速度×时间

速度=路程÷时间

时间=路程÷速度

例：数轴上点 A表示数为 a，点 P从A点出发，沿数轴向正方向移动，速度为 2单位/秒，则 t秒后

（t>0），A、P两点间的距离为 2 t ，P点表示的数为 a +2 t .

点Q从A点出发，沿数轴向负方向移动，速度为 1.5 单位/秒，则 t秒后（t>0），A、Q两点间的距离为

1.5 t ，Q点表示的数为 a － 1.5 t .

工具四、数轴上两点间中点表示的数

如图，A是PQ 的中点，则 AQ=AP（PQ=2AP=2AQ）

则a－y=x－a

即2a=x+y

即

工具五、数轴上两点间距离

数轴上两点 P、Q代表的数分别为 x，y则PQ=|x－y|

当x>y时，PQ=x－y；当 x<y时，PQ=y－x

简单记为：{知大小，大减小；不知大小，差的绝对值}

【例题精讲】

例1. （2021·辽宁和平期中）（1）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“ ”将它们连接起来：

，，0，1，．

（2）数轴上点表示的数为的绝对值，点表示的数为 1的相反数，点 P从点 A出发，以每秒 5个单

位长度的速度沿数轴向正方向匀速运动，同时点 Q从点 B出发，以每秒 4个单位长度的速度沿数轴向负方

向匀速运动．当运动时间为 5秒时，请直接写出点 P表示的数为________，点 Q表示的数为________，点

P和点 Q之间的距离为_______个单位长度．

例2．（2021·山东高新技术产业开发区期中）已知点 A在数轴上对应的数为 a，点 B在数轴上对应的数为

b，A、B之间的距离记为|AB|＝|a﹣b|或|b﹣a|，请回答问题：

（1）当 a＝﹣3，b＝2时，|AB|＝　　．

（2）设点 P在数轴上对应的数为 x，若|x3|﹣＝5，则 x＝　　．

（3）如图，点 M，N，P是数轴上的三点，点 M表示的数为 4，点 N表示的数为﹣1，动点 P表示的数为

x．

①若点P在点 M、N之间，则|x＋1|＋|x4|﹣＝　　．

② 若|x＋1|＋|x4|﹣＝10，则 x＝　　．

③若点P表示的数是﹣5，现在有一蚂蚁从点 P出发，以每秒 1个单位长度的速度向右运动，当经过多少

秒时，蚂蚁所在的点到点 M、点 N的距离之和是 8？

例3．（2021·湖南汨罗市期中）如图，已知数轴上的点 A表示的数为 6，点 B表示的数为﹣4，点 C到点

A、点 B的距离相等，动点 P从点 B出发，以每秒 2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间

为t（t大于 0）秒．

（1）点 C表示的数是　　．

（2）求当 t等于多少秒时，点 P到达点 A处？

（3）点 P表示的数是　　（用含字母 t的式子表示）

（4）求当 t等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度．

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