第6.1讲 圆的基本性质-【聚焦中考】备战2022年中考数学专题复习满分攻略讲义(全国通用)(原卷版)

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2022 年中考数学专题复习
第6.1 讲 圆的基本性质
知识点一、圆的有关概念
1．圆的定义：
（1）形成性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端
点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径.
（2）描述性定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为
圆心，定长称为半径.
2．确定圆的条件：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
3．与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，根据弧的大小，弧可分为优弧、半圆、劣弧三
类.
（4）等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；能够完全重合的两条弧叫做等弧.
（5）圆心角：顶点在圆心的角，叫做圆心角.
（6）圆周角：顶点在圆周，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角.
知识点二、圆的有关性质
1．圆的对称性：
（1）轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，过圆心的的直线都是它的对称轴
（2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
温馨提醒：
①同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆.
②半圆不包含直径；
③等弧只在同圆或等圆中存在，大小不等的圆不存在等弧.
④两条平行弦所夹的弧相等.
2．圆心角、弧、弦之间的关系：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论①：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相
等.
推论②：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和
劣弧分别相等.
3．圆周角定理及其推论：
定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论①：半圆（或直弦）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
推论②：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
4．圆内接四边形：
（1）定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的
外接圆.
（2）性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对
角.
5．垂径定理及推论：
温馨提醒：
圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度，所得的圆都与
原来的圆重合.
温馨提醒：
在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距（圆心到弦的垂线段的长）这四个量中，有
一个量相等，则其余三个量都相等.
温馨提醒：
①圆中一条弦所对的圆心角有 1个，它所对的圆周角有“2个”，这两个圆周角互补.
②圆周角定理是转换圆心角与圆周角的一种方法，连接半径是解决此类问题的常见作法.
③一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，再利用直角三角形的
性质进行计算或证明.
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论①：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论②：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
推论③：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分另一条弧.
根据圆的对称性，在以下 5个结论中：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对
的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.如果满足其中的两个结论，那么可推出其余三个结论，注意
解题过程中的灵活运用.
温馨提醒：
1.垂径定理与圆周角定理结合是圆中常见的题型，涉及求线段或角度，常见的辅助线有：
①连接半径；②过圆心作弦的垂线；③连接直径所对的圆周角.
2.在直径、弦长、弦心距和弓高四个量中，已知其中两个量可求另外两个量.
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