第1.2讲 二次根式-【聚焦中考】备战2022年中考数学专题复习满分攻略讲义(全国通用)(解析版)

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第1.2 讲 二次根式
★★★知识梳理★★★
知识点一、二次根式
1．二次根式：
一般地，我们把形如
a
（ a≥0
） 的式子叫做二次根式，“ ”为二次根号，a为被开方
数.
2．最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最
简二次根式.
3．同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
知识点二、二次根式的性质
（1）
a
≥0（a≥0）；
（2）
aa
2
)(
（a≥0）；
（3）
aa
2
温馨提醒：
（1）二次根式
a
必须注意 a≥0 这一条件；其结果也是一个非负数，即：
a
≥0 ，
如：
2x
有意义，则 x－2≥0，即 x≥2；
（2）二次根式
a
（a≥0）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式.
温馨提醒：
（1）分母有理化：把分母中的根号化去.
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
就说这两个代数式互为有理化因式（二次根式的有理化因式不是唯一的）.
（3）常见的有理化因式：
a
的有理化因式是
a
；
ba
的有理化因式是
ba
.
（4）
baab
（a≥0，b≥0）；
（5）
b
a
b
a
（a≥0，b＞0）.
知识点三、二次根式的运算
1．二次根式的加减：
先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，合并的方法与
合并同类项法则相同.
2．二次根式的乘除：
（1）乘除法则：
abba
（a≥0，b≥0）
即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；
（2）除法法则：
b
a
b
a
（a≥0，b＞0）
即：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
3．二次根式的混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减（与实数运算顺序相同）.
知识点四、非负数
1．非负数（大于或等于零的实数统称非负数）的类型：
（1）实数的绝对值是非负数，即|x|≥0 ；
（2）非负数的算术平方根是非负数，即
；
（3）实数的偶次方是非负数，即 a 2n
≥0 .
2．常用的非负数的性质有：
（1）若有限个非负数之和等于零，则每一个非负数必为零；
（2）有限个非负数之和仍为非负数.
温馨提醒：
二次根式的性质注意其逆用，如：比较
32
和
23
的大小，可逆用
aa
2
)(
（a≥0）
将根号外的正数移到根号内再比较被开方数的大小，
即：
1232
，
1823
，∵12＜18，∴
32
＜
23
★★★中考典例剖析★★★
考点一：二次根式的有关概念
例1 （2021·桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A.
9
1
B.
4
C.
2
a
D.
ba
【思路分析】最简二次根式的两个条件：①被开方数是整数或整式；②被开方数不能再开
方．据此用排除法即可得到正确答案．
【解析】A.
9
1
被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.
4
＝2是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.
aa
2
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：：①被开方数是整数或整式；②被
开方数不能再开方．
【跟踪训练】
1.（2020·上海）下列二次根式中，与
3
是同类二次根式的是（　　）
A．
6
B．
9
C．
12
D．
18
【解析】A.
6
与
3
的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.
39
，与
3
不是同类二次根式；
C.
3212
，与
3
被开方数相同，故是同类二次根式；
D.
2318
，与
3
被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
考点二：二次根式的性质
例2 （2021·西藏）若
12 x
在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 .
【思路分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案．
【解析】∵二次根式
12 x
在实数范围内有意义
∴2x 1≥0﹣，解得：x≥
2
1
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