2022年中考数学一轮综合复习导学案（10.1）统计初步

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2021-2022 学年度中考一轮综合复习导学案（10.1）
模块十：统计与概率一【统计初步】
【教材涉及章节：初一下册第 10 章数据整理与描述 初二下第 20 章数据分析 初三上第 25 章概率初步】
涉及到 2021 大连中考题题：
要点一、统计调查
1．统计相关概念
总体：调查时，调查对象的全体叫做总体.
个体：组成总体的每一个调查对象叫做个体.
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本.
样本容量：样本中个体的数量叫做样本容量（不带单位）.
❤重点讲解❤：
(1)“调查对象的全体”一般是指调查对象的某种数量指标的全体，如对于一个班级，如果考察的是这个班学生的身高，
那么总体是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体是总体．
(2)样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本在一定程度上能够反映总体，为了使样本能较好地反映总
体情况，在选取样本时要注意使其具有一定的代表性．
(3) 样本容量是一个数字，不能有单位．一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确，在实际研究中，要根
据具体情况确定样本容量的大小．例如：“从 5 万名考生的数学成绩中抽取 2000 名考生的数学成绩进行分析”，样本
是“2000 名考生的数学成绩”，而样本容量是“2000”，不能将其误解为“2000 名考生”或“2000 名”．
2. 调查的方法：全面调查和抽样调查
（1）全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查．
❤重点讲解❤：
(1)全面调查又叫“普查”，它是指在统计的过程中，为了某种特定的目的而对所有考察的对象一一作出的调查，在记
录数据时，通常用划记法进行记录数据．
(2)一般来说，全面调查能够得到全体被调查对象的全面、准确的信息，但有时总体中的个体的数目非常大，全面调查
的工作量太大；有时受条件的限制，无法进行全面调查；有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹
的杀伤半径等)，不能进行全面调查．
（2）抽样调查：从调查对象中抽取部分对象进行调查，然后根据调查的数据推断全体对象的情况，这种调查方式称为
抽样调查．
❤重点讲解❤：
(1)从总体中抽取部分个体进行调查的方式，我们称抽样调查，在抽取的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会
被抽到，像这样的抽样方式是一种简单随机抽样．
(2)抽样调查方便、快捷，能够减少调查统计的工作量但调查的结果不如“全面调查”得到的结果准确．
（3）调查方法的选择：
① 全面调查是对考查对象的全体调查，它要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则
只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况.
② 在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价
的大小.
要点二、数据的描述
描述数据的方法有两种：统计表和统计图．
统计表：利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据
统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的
信息直观化．
❤重点讲解❤：
（1）条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起
来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比．
（2）扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出各部分量和总
数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据．
（3）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，折
线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况．
要点三、组距、频数与频数分布表的概念
1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．
2．频数：落在各小组内数据的个数．
3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．
❤重点讲解❤：
（1）求频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；
③确定分点；④列频数分布表；
（2）频数之和等于样本容量．
（3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当
数据在 100 个以内时，按数据的多少，常分成 5～12 组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为
的整数部分+1．
要点四、频数分布直方图
1．频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三
部分组成．
(1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)；
(2)纵轴：直方图的纵轴表示频数；
(3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频
数．
2．作直方图的步骤：
(1)计算最大值与最小值的差；
(2)决定组距与组数；
(3)列频数分布表；
(4)画频数分布直方图．
❤重点讲解❤：(1)频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．
(2)频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频
数的分布．
3.直方图和条形图的联系与区别：
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；
（2）区别：由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分
开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数.
要点五、频数分布折线图
频数分布折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是：首先取直方图中每一个长方形上
边的中点；然后再在横轴上取两个频数为 0 的点(直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组
距)；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数分布折线图．
要点六、算术平均数和加权平均数
一般地，对于 个数 ，我们把叫做这 个数的算术平均数，简称平均数，
记作 .计算公式为 .
❤重点讲解❤：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数 附近上、下波动时，一般选用简化计算公式
.其中 为新数据的平均数， 为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.
所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若个数 的权分别是 ，则 叫做这 个数的加权平均数.
❤重点讲解❤：（1）相同数据 的个数 叫做权， 越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够
反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.
要点七、中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数
称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
❤重点讲解❤：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
❤重点讲解❤：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出
现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
要点八、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太
高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波
动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
要点九、极差、方差和标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为 极差，极差＝最
大值－最小值.
❤重点讲解❤：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组
数据就越稳定.
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：
S2=1
n
[
(
x1−¯
x
)
2+( x2−¯
x)2+...+( xn−¯
x)2
]
　　
　　 重点讲解❤ ❤：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的
波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的 倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即：
　　 ；标准差的数量单位与原数据一致.
要点十、极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度
的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑
到这组数据的稳定性时用方差.
要点十一、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平
或方差.
❤重点讲解❤：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须
具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确 .样本容量的确定既要考虑问题本
身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
要点十二、必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
❤重点讲解❤：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事
件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能
发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
要点十三、概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频
率 会稳定在某个常数 附近，那么这个常数 就叫做事件A的概率(probability)，记为 .
❤重点讲解❤：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于 0，且小于等于 1 的数，，即，其中 P(必然事件)=1，P(不可能事
件)=0，0<P(随机事件)<1.
要点十四、古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
❤重点讲解❤：如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的 m种结
果，那么事件A 发生的概率为 P（A）=.
要点十五、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1. 列表法：
　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采
用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式 ，
并求出概率的方法.
❤重点讲解❤：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2. 树形图：当一次试验要涉及 3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方
式，并求出概率的方法.
❤重点讲解❤：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
要点十六、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
❤重点讲解❤：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为
精确.
【2021 中考汇编】
一、选择题
1. （2021•湖北省黄冈市）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，给我们带来愉快．
英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（ A．
科普，B．文学，C．体育，D．其他），绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．样本容量为 400
B．类型 D所对应的扇形的圆心角为 36°
C．类型 C所占百分比为 30%
D．类型 B的人数为 120 人
2. （2021•湖北省武汉市）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如
下表，这组数据的中位数是 　 2189 　 ．
城市 北京 上海 广州 重庆 成都
常住人口
数万
2189 2487 1868 3205 2094
3. （2021•湖南省常德市）舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的
数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当
地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中
华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是（ ）
A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→①
4. （2021•湖南省衡阳市）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组 6名同
学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是 82 B．中位数是 84 C．方差是 84 D．平均数是 85
5. （2021•湖南省邵阳市）其社区针对 5月30 日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回 6000 份有
效问卷．经统计，制成如下数据表格．
接种疫苗针数 0 1 2 3
人数 2100 2280 1320 300
小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序
打乱）：
①计算各部分扇形的圆心角分别为 126°，136.8°，79.2°，18°．
②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为 35%，38%，22%，5%．
③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．
制作扇形统计图的步骤排序正确的是（　　）
A．②①③ B．①③② C．①②③ D．③①②
6. （2021•岳阳市）在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、
一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分
别是（ ）
A. 9.0，8.9 B. 8.9，8.9 C. 9.0，9.0 D. 8.9，9.0
7. （2021•长沙市）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水
稻苗的长势，从稻田中随机抽取 9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：
22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24
8. （2021•株洲市）某月1日—10 日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（
）
A. 1日—10 日，甲的步数逐天增加
B. 1日—6日，乙的步数逐天减少
C. 第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D. 第11 日，甲的步数不一定比乙的步数多
9. （2021•江苏省苏州市）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计
班级一班 二班三班四班 五班
废纸重量
（kg）
4.5 4.4 5.1 3.3 5.7
则每个班级回收废纸的平均重量为（　　）
A．5kg B．4.8kg C．4.6kg D．4.5kg
10. （2021•宿迁市）已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的中位数是（ ）
A. 3B. 3.5 C. 4D. 4.5
11. （2021•江西省）如图是 2020 年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（　　）
A．一线城市购买新能源汽车的用户最多
B．二线城市购买新能源汽车用户达 37%
C．三四线城市购买新能源汽车用户达到 11 万
D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少
12. （2021•山东省聊城市） 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机
抽取 40 名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
废旧电池数/节4 5 6 7 8
人数/人 9 11 1
15 4
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）
A. 样本为 40 名学生 B. 众数是 11 节
C. 中位数是 6节D. 平均数是 5.6 节
13. （2021•山东省泰安市）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调
查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中
位数分别为（　　）
A．7h，7hB．8h，7.5hC．7h，7.5hD．8h，8h
14.（2021•河北省）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图 1及条形图 2（柱的高度从高到
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