2021-2022学年中考一轮综合复习导学案（16）全等与相似

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2021-2022 学年度中考一轮综合复习导学案（16）
模块十六：全等与相似
【教材涉及章节： 初二上第 13 章 全等三角形 初三下第 27 章 相似三角形 】
涉及到 2021 大连中考题题：
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、全等三角形的判定与性质
要 点 二 、 全 等 三角形的证明思路
要点三、角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
要点四、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质
的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、
角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在
的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明
其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构
造出全等三角形来研究平面图形的性质.
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
❤重点讲解❤：
　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
❤重点讲解❤：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段
a
、
b
、
c
、
d
，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a
:
b
=
c
:
d
，我们就说这
四条线段是成比例线段，简称比例线段．
❤重点讲解❤：
（1）若
a
:
b
=
c
:
d
，则
ad=bc
；（d 也叫第四比例项）
（2）若
a
:
b=b
:
c
，则
2
b
=ac
（
b
称为
a
、
c
的比例中项）．
要点二、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
❤重点讲解❤：
　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则
判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
❤重点讲解❤：
　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个
锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
❤重点讲解❤：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
一般三角形 直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相 等， 如 对应 边 上的 高相
等）
备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫
做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
❤重点讲解❤：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k.
要点四、黄金分割
1.定义：如图，将一条线段 AB 分割成大小两条线段 AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即
AB
AP
AP
PB
（此时线段 AP 叫作线段 PB、AB 的比例中项），则 P点就是线段 AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫
黄金分割．
2.黄金三角形：顶角为 36°的等腰三角形，它的底角为 72°，恰好是顶角的 2 倍，人
们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点五、射影定理
在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴
BDADCD
2
；
ABADAC
2
；
ABBDBC
2
（射影定理）；
CDABBCAC
（等积）．
【2021 中考汇编】
一、选择题
1. （2021•陕西省）如图，AB、BC、CD、DE 是四根长度均为 5cm 的火柴棒，点 A、C、E共线．CD⊥BC，若 AC＝6cm，
则线段 CE 的长度是（　　）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
2. （2021•江苏省盐城市）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB 的两边
OA、OB 上分别在取 OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 C、D重合，这时过角尺顶点 M的射线 OM 就
是∠AOB 的平分线．这里构造全等三角形的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3.（重庆市 B）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（
　）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
4. （2021•重庆市 A）如图，点 B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不
等判断△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB=DE B. ∠A=∠DC. AC=DF D. AC∥FD
5. （2021•河北省）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后
如图 2所示，此时液面 AB＝（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. （2021•遂宁市）如图，在△ABC 中，点 D、E分别是AB、AC 的中点，若△ADE 的面积是3cm2，则四边形 BDEC 的
面积为（ ）
A. 12cm2B. 9cm2C. 6cm2D. 3cm2
7. （2021•浙江省绍兴市）如图，树 AB 在路灯 O的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO＝5m，树 AB 与路灯 O的水平
距离 AP＝4.5m，则树的高度 AB 长是（　　）
A．2mB．3mC．mD．m
8. （2021•湖北省恩施州）如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，E为BD 与正方形网格线的交
点，下列结论正确的是（　　）
A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
9. （2021•浙江省温州市）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点 A，B的对应点分别为点 A′，则 A′B′
的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
10. （2021•重庆市 A）如图，△ABC 与△BEF 位似，点 O是它们的位似中心，其中 OE=2OB，则△ABC 与△DEF 的周长
之比是（ ）
A. 1：2B. 1：4C. 1：3
11. （2021•重庆市 B）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB 以原点 O为位似中心放大后得到△OCD ， 若
B（0，1），D（0，3），则△OAB 与△OCD 的相似比是（　　）
A．2：1B．1：2C．3：1D．1：3
12. （2021•江苏省连云港）如图，
ABC
中，
BD AB
，
BD
、
AC
相交于点 D，
4
7
AD AC
，
2AB
，
150ABC  
，则
DBC△
的面积是（ ）
A.
3 3
14
B.
9 3
14
C.
3 3
7
D.
6 3
7
13. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，平行四边形
ABFC
的对角线
AF
、
BC
相交于点 E，点 O为
AC
的中点，连接
BO
并延长，交
FC
的延长线于点 D，交
AF
于点 G，连接
AD
、
OE
，若平行四边形
ABFC
的面积为48，则
AOG
S△
的面积为（ ）
A. 5.5 B. 5C. 4D. 3
二．填空题
1. （2021•湖南省常德市）如图．在
ABC
中，
90C 
，
AD
平分
CAB
，
DE AB
于E，若
3, 5CD BD 
，
则
BE
的长为________．
2. （2021•长沙市）如图，在
ABC
中，
90C 
，
AD
平分
BAC
交
BC
于点
D
，
DE AB
，垂足为
E
，若
4BC
，
1.6DE
，则
BD
的
长为______．
3. （2021•山东省济宁市）如图，四边形 ABCD 中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 　　，使△ABC≌△ADC．
4. （2021•齐齐哈尔市）如图，
AC AD
，
1 2  
，要使
ABC AED≌△ △
，应添加的条件是_________．（只需写出
一个条件即可）
5. （2021•湖南省邵阳市）如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC，垂足为点 E．若 sin∠ADE＝ ，AD＝4，则 AB 的长为 　．
6. （2021•江苏省南京市）如图，将
ABCD
绕点A逆时针旋转到
AB C D
  
的位置，使点
B
落在
BC
上，
B C
 
与
CD
交于点 E，若
3, 4, 1AB BC BB
 
，则
CE
的长为________．
7. （2021•宿迁市）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=5，点 D、E分别在BC、AC 上，CD=2BD，CF=2AF，BE 交AD 于点
F，则△AFE 面积的最大值是_________．
8. （2021•江苏省扬州） 如图，在
ABC
中，
AC BC
，矩形
DEFG
的顶点 D、E在
AB
上，点 F、G分别在
BC
、
AC
上，若
4CF
，
3BF
，且
2DE EF
，则
EF
的长为________．
9. （2021•浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，△ABC 与△ODE 是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　　．
10. （2021•黑龙江省大庆市）已知 ，则 ＝ ；
11. （2021•云南省）如图，在△ABC 中，点 D，E分别是 BC，AC 的中点，AD 与BE 相交于点 F．若 BF＝6，则 BE 的长
是　 　．
8. （2021•吉林省）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 4.5m的竹竿 AC 斜靠在石坝旁，量出竿上 AD 长为
1m时，它离地面的高度 DE 为0.6m，则坝高 CF 为 　 　m．
9. (2021•内蒙古包头市)如图，在
Rt ABC
中，
90ACB  
，过点 B作
BD CB
，垂足为 B，且
3BD
，连接
CD，与 AB 相交于点 M，过点 M作
MN CB
，垂足为 N．若
2AC
，则 MN 的长为__________．
10.（2021•江苏省连云港）如图，BE 是△ABC 的中线，点 F在BE 上，延长AF 交BC 于点 D．若 BF=3EF，则 =_____
_．
11.（2021•上海市）如图，已知
1
2
ABD
BCD
S
S
，则
BOC
BCD
S
S
_________．
12.（2021•山东省菏泽市）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AD＝5，BC＝10，四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均
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