河南省洛阳市2021-222学年高三上学期期中考试理科数学试题答案

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洛阳市２０２１
———
２０２２学年高中三年级期中考试
数学试卷参考答案（
理）
一、
选择题
１－５ＢＤＡＣＢ
　　 ６－１０ＣＣＤＤＢ
　　
１１－１２ＢＡ
二、
填空题
槡
１３．２　　
１４．－３
　　
１５．２５
π　　 槡
１６．２ ３
三、
解答题
１７．
解：（
１
）
由余弦定理得
犪
犪
２＋
犮
２－
犫
２
２
犪犮
－
犫
犫
２＋
犮
２－
犪
２
２
犫犮
＝
犮
－
犫
， ……
２分
可得
犫
２＋
犮
２－
犪
２＝
犫犮
， ……
３分
ｃｏｓ
犃
＝
犫
２＋
犮
２－
犪
２
２
犫犮
＝
犫犮
２
犫犮
＝１
２
， ……
５分
由０＜
犃
＜
π
，
可得
犃
＝
π
３．……
６分
（
２
）
由正弦定理得槡
２ｓｉｎ
犃
＝２ｓｉｎ
犅
－ｓｉｎ
犆
， ……
７分
∵　
犃
＝
π
３
，
　∴　槡
６
２＝２ｓｉｎ
犅
－ｓｉｎ
（
２
π
３－
犅
）
＝３
２
ｓｉｎ
犅
－槡
３
２
ｃｏｓ
犅
．
解得ｓｉｎ
（
犅
－
π
６
）
＝槡
２
２
， ……
９分
∴　
犅
－
π
６＝
π
４或
３
π
４
（
舍），
∴　
犅
＝
π
４＋
π
６
， ……
１１分
∴　
ｓｉｎ
犅
＝ｓｉｎ
（
π
４＋
π
６
）
＝槡
６＋槡
２
４．……
１２分
１８．
解：（
１
）
当
狀
＝１时，
犪
１＝（
犪
１＋１
２
）
２，
　∴　
犪
１＝１．……
１分
当
狀
≥２时，
犛
狀
＝（
犪
狀
＋１
２
）
２，…①　　
犛
狀
－
１＝（
犪
狀
－
１＋１
２
）
２，…②……
２分
①－②得：
４
犪
狀
＝
犪
狀
２－
犪
狀
－
１
２＋２
犪
狀
－２
犪
狀
－
１， ……
３分
即：（
犪
狀
＋
犪
狀
－
１）（
犪
狀
－
犪
狀
－
１－２
）
＝０．……
４分
∵　
犪
狀
＞０
，
　∴　
犪
狀
－
犪
狀
－
１＝２．……
５分
∴　｛
犪
狀
｝
是以１为首项，
以２为公差的等差数列，
∴　
犪
狀
＝２
狀
－１．… …
６分
（
２
）
由（
１
）
可知
犫
狀
＝（
２
狀
－１
）
２
狀
，
则
犜
狀
＝１×２
１＋３×２
２＋…＋（
２
狀
－１
）
２
狀
，…①……
７分
高三数学答案（
理）
　第
１页　（
共５页）
　（
２０２１．１０
）
两边同乘２得：
２
犜
狀
＝１×２
２＋３×２
３＋…＋（
２
狀
－１
）
２
狀
＋
１，…②……
８分
①－②得：
－
犜
狀
＝２
１＋２×２
２＋…＋２×２
狀
－（
２
狀
－１
）
２
狀
＋
１
＝２＋８
（
１－２
狀
－
１）
１－２－（
２
狀
－１
）
２
狀
＋
１……
１０分
＝－６－（
２
狀
－３
）
·
２
狀
＋
１， ……
１１分
∴　
犜
狀
＝（
２
狀
－３
）
２
狀
＋
１＋６．… …
１２分
１９．
解：（
１
）
在三角形
犇犃犅
中，
犃犇
＝１
，
犃犅
＝２
，
∠
犅犃犇
＝６０°
，
由余弦定理得
犅犇
＝槡
３，
　∴　
犃犇
２＋
犅犇
２＝
犃犅
２，
∴　
犅犇
⊥
犃犇
， ……
２分
在直四棱柱
犃犅犆犇
－
犃
１
犅
１
犆
１
犇
１中，
犇犇
１⊥平面
犃犅犆犇
，
∴　
犇犇
１⊥
犇犅
，
∵　
犇犇
１∩
犃犇
＝
犇
，
　∴　
犅犇
⊥平面
犃犇犇
１
犃
１，
……
３分
又点
犕
，
犖
分别是
犃犇
，
犃犅
的中点，
　∴　
犕犖
∥
犅犇
，
∴　
犕犖
⊥平面
犃犇犇
１
犃
１，
∵　
犕犖
平面
犘犕犖
，
∴　平面
犘犕犖
⊥平面
犃
１
犃犇犇
１．……
５分
（
２
）
由（
１
）
知
犇犃
，
犇犅
，
犇犇
１两两垂直，
所以以
犇
为原点，→
犇犃
，→
犇犅
，
犇犇
→
１分别为
狓
，
狔
，
狕
轴正方向建立空间直角坐标系，
则
犕
（
１
２
，
０
，
０
），
犖
（
１
２
，
槡
３
２
，
０
），
犆
（
－１
，
槡
３，
０
），
犘
（
０
，
槡
３
２
，
槡
３），
∴　→
犕犖
＝（
０
，
槡
３
２
，
０
）， →
犆犖
＝（
３
２
，
－槡
３
２
，
０
）， →
犘犖
＝（
１
２
，
０
，
－槡
３）， ……
７分
设平面
犘犕犖
的法向量为
珤
犿
＝（
狓
１，
狔
１，
狕
１），
则
珤
犿
·→
犕犖
＝０
，
珤
犿
·→
犘犖
＝０
｛
．
∴　
槡
３
２
狔
１＝０
，
１
２
狓
１－槡
３
狕
１＝０
烅
烄
烆．
取
狕
１＝１
，
则
珤
犿
＝（槡
２ ３，
０
，
１
）
．……
９分
设平面
犘犆犖
的法向量为
珗
狀
＝（
狓
２，
狔
２，
狕
２），
则
珗
狀
·→
犆犖
＝０
，
珗
狀
·→
犘犖
＝０
｛
．
∴　
３
２
狓
２－槡
３
２
狔
２＝０
，
１
２
狓
２－槡
３
狕
２＝０
烅
烄
烆．
取
狕
２＝１
，
则
珗
狀
＝（槡
２ ３，
６
，
１
）
．……
１１分
所以ｃｏｓ＜
珤
犿
，
珗
狀
＞＝
珤
犿
·
珗
狀
狘
犿
→
狘
·
狘
珗
狀
狘
＝１３
槡
１３ ×槡
４９
＝槡
１３
７
，
故平面
犘犕犖
与平面
犘犖犆
所成锐二面角的余弦值为 槡
１３
７．……
１２分
高三数学答案（
理）
　第
２页　（
共５页）
　（
２０２１．１０
）
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