【压轴突围】专题03 平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型（原卷版）-2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）

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2021-2022 学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题 03 平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型

【类型一利用平方差公式和完全平方公式化简及化简求值问题】

例1.（2022·上海金山·七年级期中）先化简，再求值：（2x）2[﹣（3x﹣1）（3x＋1）﹣（x＋3）（x﹣5）

﹣（2x﹣3）2]，其中 x＝﹣ ．

【变式训练 1】（2022·重庆黔江·八年级期末）化简后求值：，其

中：

【变式训练 2】（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值：，

其中．

【变式训练 3】（2022·湖南长沙·八年级期末）己知 x，y满足．先化简，再求值：

．

【类型二通过乘法公式变式求值问题】

例2．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：

(1)已知 a2＋b2＝2，ab＝1，求 a＋b和a－b的值；

(2)若a＋＝3，那么 a2＋＝_____；若 a－＝3，那么 a4＋＝_____．

【变式训练 1】（2022·四川南充·八年级期末）已知，，则 _____．

【变式训练 2】（2022·湖北荆门·八年级期末）已知 a+b=5，ab=-2，那么 a2+b2的值为______．

【变式训练 3】（2021·全国·七年级期中）已知 a+b=5，ab=﹣2．求下列代数式的值：

(1)a2+b2；

(2)2a2﹣3ab+2b2．

【类型三展开式是完全平方式问题】

例3．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于 x，y的多项式 x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，则 k＝

_____．

【变式训练 1】（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校七年级开学考试）若是一个完全平方式，

那么 m的值应为______．

【变式训练 2】（2021·陕西西安·八年级阶段练习）若 4x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则 k＝_____．

【变式训练 3】（2022·湖北十堰·八年级期末）若是完全平方式，则 ______．

【类型四利用完全平方配方求最值问题】

例4．（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式

及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式 x2+4x+5

的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．

(∵x+2)2 ≥0，

∴当x＝﹣2时，(x+2)2的值最小，最小值是 0，

(∴x+2)2+1≥1

∴当(x+2)2＝0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是 1，

∴x2+4x+5的最小值是 1．

请你根据上述方法，解答下列各题：

（1）当 x＝时，代数式 x2﹣6x+12 有最小值；最小值是；又如探求多项式

的最大(小)值时，我们可以这样处理：

解：原式=，因为无论 x取什么数，都有

的值为非负数，所以的最小值为 0，此时，进而的最小值是

，所以当时，原多项式的最小值是−22．

解决问题：请根据上面的解题思路，探求：

（2）多项式的最小值是多少，并写出对应的 x的取值．

（3）多项式的最大值是多少，并写出对应的 x的取值．

【变式训练 1】（2021·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：

在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？

小丽：能．求解过程如下：因为，

因为，所以的最小值是．

问题：

（1）小丽的求解过程正确吗？

（2）你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；

（3）求的最大值．

【变式训练 2】（2021·湖南永州·七年级期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．

小明在学习完全平方公式 a2±2ab+b2＝（a±b）2时，代数式（a±b）2的值具有非负性（即该式的值总是正数

或者 0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式 x2+6x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：

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