河南省开封一模2023届高三数学试题答案（文）

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（文科） ·1·
开封市 2023 届高三年级第一次模拟考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题 5分，共 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
A
B
B
C
D
B
A
C
B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.
5
14.
2
15.
4 2
16.
110
三、解答题（共 70 分）
17.（1）由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为 3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 件商品，
因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取 3 件，2 件，2 件．……4 分
（2）（i）从抽取的 7 件商品中随机抽取 2 件商品的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，
{F，G}，共 21 种．……8 分
（ii）由（1），不妨设抽取的 7 件商品中，来自甲地区的是 A，B，C，来自乙地区的是 D，E，
来自丙地区的是 F，G，则从抽取的 7 件商品中随机抽取的 2 件商品来自相同地区的所有可
能结果为：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种．……10 分
所以，事件
M
发生的概率为
 
5 16
=1 21 21
P M  
．……12 分
18.（1）因为
，所以
2 2 2
B C A
 
，得
cos sin
2 2
B C A
，……1 分
由正弦定理，可得
sin sin sin sin
2
A
A B A  
，
sin 0A
，所以
sin sin
2
AB
，……2 分
又因为
,A B
均为三角形内角，所以
2
A
B
，即
2A B
，……3 分
又因为
2 3a b
，即
2sin 3sinA B
，即
4sin cos 3sinB B B
，……4 分
sin 0B
，得
3
cos 4
B
；……5 分
（2）若
3a
，则
2b
，由（1）知
3
cos 4
B
，
由余弦定理
2 2 2 2 cosb a c ac B  
可得
295 0
2
c c  
，……7 分
即
 
5
2 0
2
c c
 
 
 
 
，所以
2c
或
5
2
，……9 分
当
2c
时，
b c
，则
2 2A B C 
，即
ABC
为等腰直角三角形，
又因为
2a b
，此时不满足题意，……11 分
所以
5
2
c
.……12 分
19.（1）取
CF
的中点
D
，连接
DM DN，
，
M N，
分别是
AF CE，
的中点，
DM AC DN EF∥ ， ∥
，
又
DM ABC AC ABC 平面 ， 平面
，
.DM ABC∥平面
……2 分
（文科） ·2·
又
EF AB∥
，
DN AB∥
，同理可得，
DN ABC∥平面
.……3 分
=DM MND DN MND DM DN D  平面 ， 平面 ，
，
.MND ABC平面 ∥平面
……5 分
.MN MND MN ABC 平面 ， ∥平面
……6 分
（2）取
AB
的中点
O
，连接
OC OE，
.
由已知得
=
OA EF
∥
，
OAFE
是平行四边形，
=
OE AF∥
.……7 分
ABC
是正三角形，
OC AB 
，
ABC ABEF平面 平面
，
=ABC ABEF AB平面 平面
，
OC ABEF 平面
，
又
OE ABEF平面
，
OC OE 
.……8 分
设
1
= = = =
2
AF EF EB AB a
，
= 3OC a
，
在
Rt COE
中，由
2 2 2
+ =OC OE CE
，解得
=2a
，
即
1
= = = =2
2
AF EF EB AB
.……9 分
由题意
=60FAB
，
M
到
AB
的距离
3
sin 60 = 2
h AM
即为
M
到
ABC平面
的距离……10 分
又
MN ABC∥平面
，
1 1 1 3
= = = 4 2 3 =2.
3 3 2 2
N ABC M ABC ABC
V V S h
 
 
……12 分
20.（1）由已知可得：
0cos2)(
axxf
，……2 分
即
xa cos2
恒成立，则有
]2,( a
. ……4 分
（2）由已知可得：
1
( ) 2 cos 1g x x x
 
，
令
( )= ( )h x g x
，
2
1
( ) 2sinh' x x x
 
在
(0, ]
2
上单调递减，……6 分
又因为
0)
6
(1)
6
(2
h
，
01
6
sin211sin2)1(
h
，
所以存在
)1
6
(
0，
x
使得
0)(
xh
，即
2
0
0
1
sin2 x
x
，从而
2
0
4
0
02
14
cos x
x
x
……8 分
则有
x
),0( 0
x
)
2
,( 0
x
)(xh
正
负
)(xg
递增
递减
则有
)(xg
最大值为：
)( 0
xg
0
0
1
1cos2 x
x
0
2
0
4
01
1
14
x
x
x
0
2
0
4
01
1
4
x
x
x
0
1
=1 x
0
，
所以
)(xg
0
，……10 分
则
)(xg
在
(0, ]
2
上单调递减，所以最小值为
)
2
ln(
2
2)
2
(
g
.……12 分
21.（1）由题意可得
2 =1ND DM，
，
所以椭圆
1
C
的长半轴长为 2，短半轴长为 1，……2 分
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