河南省开封一模2023届高三数学试题答案（理）

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（理科） ·1·
开封市 2023 届高三年级第一次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题 5分，共 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
A
B
B
C
D
C
A
C
B
二、填空题（每小题 5分，共 20 分）
13.
2
14.
5
15.
4 2
16.
2
4 +2n n
三、解答题（共 70 分）
17.（1）因为
A B C
 
，所以
2 2 2
B C A
 
，得
，……1 分
由正弦定理，可得
sin sin sin sin
2
A
A B A  
，
sin 0A
，所以
sin sin
2
AB
，……2 分
又因为
,A B
均为三角形内角，所以
2
A
B
，即
2A B
，……3 分
又因为
2 3a b
，即
2sin 3sinA B
，即
4sin cos 3sinB B B
，……4 分
sin 0B
，得
3
cos 4
B
；……5 分
（2）若
3a
，则
2b
，由（1）知
3
cos 4
B
，
由余弦定理
2 2 2 2 cosb a c ac B  
可得
295 0
2
c c  
，……7 分
即
 
5
2 0
2
c c
 
 
 
 
，所以
2c
或
5
2
，……9 分
当
2c
时，
b c
，则
2 2A B C 
，即
ABC
为等腰直角三角形，
又因为
2a b
，此时不满足题意，……11 分
所以
5
2
c
.……12 分
18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对 1个成语的概率为
1
2
，
所以
 
2 2 1
1 + 1 =
3 3 2
p p
 
 
 
 
，解得
1
=2
p
.……4 分
（2）设
i
A
表示事件“甲在两轮中猜对
i
个成语”，
i
B
表示事件“乙在两轮中猜对
i
个成语”
 
0,1,2i
，根据独立性假定，得
 
0 1 2
1 1 1 1 2 4 2 2 4
= = =2 = = =
3 3 9 3 3 9 3 3 9
P A P A P A   ， ， ，
   
0 1 2
1 1 1
= = =
4 2 4
P B P B P B， ， ，
……6 分
X
的可能取值为
0,1,2,3,4
，所以
 
0 0
1 1 1
0 = = =
9 4 36
P X P A B ，
   
0 1 1 0
1 1 4 1 3
1 = + = + =
9 2 9 4 18
P X P A B P A B   ，
     
0 2 1 1 2 0
1 1 4 1 4 1 13
2 = + + = + + =
9 4 9 2 9 4 36
P X P A B P A B P A B    ，
   
1 2 2 1
4 1 4 1 3
3 = + = + =
9 4 9 2 9
P X P A B P A B ，
 
2 2
4 1 1
4 = = =
9 4 9
P X P A B ，
（理科） ·2·
X
的分布列如下表所示：
X
0
1
2
3
4
P
1
36
3
18
13
36
3
9
1
9
……10 分
 
1 3 13 3 1 1
=0 +1 +2 +3 +4 =2 .
36 18 36 9 9 3
E X  
……12 分
19.（1）取
CF
的中点
D
，连接
DM DN，
，
M N，
分别是
AF CE，
的中点，
DM AC DN EF∥ ， ∥
，
又
DM ABC AC ABC 平面 ， 平面
，
.DM ABC∥平面
……2 分
又
EF AB∥
，
DN AB∥
，同理可得，
DN ABC∥平面
.……3 分
=DM MND DN MND DM DN D  平面 ， 平面 ，
，
.MND ABC平面 ∥平面
……5 分
.MN MND MN ABC 平面 ， ∥平面
……6 分
（2）取
AB
的中点
O
，连接
OC OE，
.
由已知得
=
OA EF
∥
，
OAFE
是平行四边形，
=
OE AF∥
.
ABC
是正三角形，
OC AB 
，
ABC ABEF平面 平面
，
=ABC ABEF AB平面 平面
，
OC ABEF 平面
，
又
OE ABEF平面
，
OC OE 
.……7 分
设
1
= = = =
2
AF EF EB AB a
，
= 3OC a
，
在
Rt COE
中，由
2 2 2
+ =OC OE CE
，解得
=2a
，即
1
= = = =2
2
AF EF EB AB
.……8 分
取
EF
的中点
P
，连接
OP
，则
OP AB
，
以
O
为原点，
OP OB OC， ，
所在直线分别为
x y z， ，
轴，建立直角坐标系如图所示.
则
 
 
3 1
0, 2, 0 0,0, 2 3 3,1,0 , , 3
2 2
A C E N  
 
 
 
， ， ， ，
 
3 1
= 0, 2,0 = , , 3
2 2
OA ON  
 
 
 
 
， ，
由已知易得，平面
ABM
的一个法向量为
 
= 0,0, 2 3OC
，
……9 分
设平面
ABN
的法向量为
 
= , ,x y zn
,
则
2 =0
=0
3 1 3z=0
=0 2 2
y
OA
x y
ON
 
 
，
，
即，
，
n
n
取
2x
，则平面
ABN
的一个法向量为
 
= 2,0, 1n
.……10 分
2 3 5
cos , = 5
2 3 5
O
OC
OC
C
 
 
n
n
n
，……11 分
二面角
- -M AB N
为锐角，
二面角
- -M AB N
的余弦值为
5
5
.……12 分
20.（1）由已知可得：
0cos2)(
axxf
，……1 分
即
xa cos2
恒成立，则有
]2,( a
.……3 分
（2）由已知可得：
1
1
1cos2)(
x
xxg
，
令
( )= ( )h x g x
，
2
1
( ) 2sin ( 1)
h' x x x
 
在
[0, ]
6
上单调递减，……4 分
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