河南省开封市2022届高三第三次模拟考试文科数学答案

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（文科） ·1·
开封市 2022 届高三第三次模拟考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题 5分，共 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
C
B
A
C
A
D
B
C
B
二、填空题（每小题 5分，共 20 分）
13.
1
2
14.
7
9
15.
2
16.
64
27
三、解答题（共 70 分）
17.（1）由正弦定理得：
=
sin sin
AB AC
C B
，即
4=
sin 45 sin 60
 
AC
，解得
.……5 分
（2）过
A
作
BC
的垂线
AO
，垂足为
O
，则
3
=4 sin 60 =4 =2 3
2
AO
.……6 分
①
=3 2 3AD
，此时满足条件的
ABD
有 0 个；……7 分
②
= 15AD
，因为
2 6 4
，
2 3 15 4 
，所以此时满足条件的
ABD
有 2 个；……8 分
③
= 21AD
，因为
4 21 2 6 
，所以此时满足条件的
ABD
有 1 个.……9 分
在③的情况下，由余弦定理得：
2 2 2
= + 2 cos AD AB BD AB BD B
，
即
21
21=16+ 8 2
 BD BD
，解得
=5BD
.……12 分
18.（1）由已知数据可得
2 4 5 6 8 5
5
x  
 
，
3 4 4 4 5 4
5
y
 
，……2 分
所以
 
   
5
1
3 1 1 0 0 0 1 0 3 1 6
i i
i
x x y y
     
，
 
 
522 2 2 2 2
1
3 1 0 1 3 2 5
i
i
x x
 
，
 
 
5222 2 2 2
1
1 0 0 0 1 2
i
i
y y
   
，……4 分
相关系数
 
 
5
1
5 5
2 2
1 1
6 3 10 0.95
10
2 5 2
 
 
 
 
 
i i
i
i i
i i
x x y y
r
x x y y
.……5 分
因为
0.75r
，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合
y
与
x
的关系.……6 分
由于
5
1
5
2
1
( )( ) 6=0.3
20
( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
 
 
，
=4 0.3 5 2.5a y bx  
，……8 分
所以
y
关于
x
的线性回归方程为
ˆ0.3 +2.5y x
.……10 分
ˆ
=9 5.2x y 当 时，
，所以西红柿亩产量的增加量约为 5.2 百千克.……12 分
（文科） ·2·
19.（1）如图，连接
BD
和
AC
交于点
O
，连接
OF
.
因为
, , ,B D E F
四点共面，
EF ABCD∥平面
，
=BDEF ABCD BD平面 平面
，
所以
EF BD∥
， ……2 分
因为底面
ABCD
是边长为 2 的菱形，
=60BAD
，
所以
=1=OD EF
，所以四边形
EFOD
为平行四边形， ……3 分
又因为
ED ABCD平面
，且
OD ABCD平面
，
所以
ED OD
，所以四边形
EFOD
为矩形，所以
EF OF
，……4 分
又因为
EF BD∥
，
AC BD
，所以
EF AC
，……5 分
且
=OF AC O
，所以
EF ACF平面
.……6 分
（2）由（1）易知，
BD AC
，
ED AC
，
=ED BD D
，
所以
AC BDEF平面
，且四边形
BDEF
为直角梯形，
所以
- -
= +
多面体 四棱锥 四棱锥
ABCDEF A BDEF C BDEF
V V V
， ……8 分
又
= = 3AO OC
，
所以
-
2
=2 = 3
ABCDEF A BDEF BDEF
V V S AO
多面体 四棱锥 直角梯形
……10 分
 
2 1 1
= + = 1+2 1 3= 3
3 2 3
EF BD DE AO  
.
所求多面体
ABCDEF
的体积为
3
. ……12 分
20.解：（1）一方面，当
0x
时，
(0) 1 0f a 
，所以
0 1a 
. ……1 分
另一方面，
 
( )=e 1 sin =e + sin
 
x x
f x a x a x a
，令
( ) ( )x f x
，
( )=e + cos
x
' x a x
，
当
0,x 
时，
( ) 0x
，所以
( )x
即
( )f x
在
0, 
单调递增，……3 分
又因为
(0) 1 0f a
 
，所以
( ) 0f x
恒成立，所以
( )f x
在
0, 
上单调递增，……5 分
所以
( ) (0) 0f x f 
符合题意，即
0 1.a 
……6 分
（2）
 
1
( )=e +cos 
x
g x a x x x
，所以
2
1
( )=e + sin +
x
g' x a x a x
，……7 分
由（1）可知
0 1a 
时，在
0, 
上
( )=e + sin 0
 
x
f x a x a
恒成立，
所以在区间
 
0, 
上
( ) 0g' x
，所以
( )g x
在区间
 
0, 
上单调递增，……9 分
又因为
1 1
2 2
1 1 1
( )=e +cos 2 e 2 0
2 2 2
 
   
 
 
g a
，……10 分
22
( )=e 0
2 2
 
g a
 
，……11 分
所以
( )g x
在区间
 
0, 
上有且仅有
1
个零点.……12 分
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