河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷答案

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2023 届高三第一学期12月月考
数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
本试题卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试
题卷上答题无效。考试结束后，只收答题卷.
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．已知集合
A
∣x2x2x15 0
，B
3, 1,1,3,5
，则 AB（ ）
A．
1,3
B．
3, 1,1
C．
1,1
D．
1,1,3
2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与
一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶
等差数列，其前 7项分别为 1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第 20 项为（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
3．已知
sin π 2
123
，则
5π
cos26
（）
A．
7
9
B．
5
9
C．
5
9
D．
7
9
4．已知平面向量
a
，
b
满足
，
13
b
，
，
211
ab
，则
a
在
b
上的投影为（）
A．
3
B．1C．2D．
6
5．若函数
log20,1
a
fxaxaa
在区间
1,3
内单调递增，则a的取值范围是（）
A．
2,1
3
B．
2
0,3
C．
2
1,3
D．
2,
3
6．如图，在直三棱柱
111
ABCABC
-
中，
122
AAABAC
，且
,,
ABACDE
分别是
棱
1
,
BCBB
的中点，则异面直线
1
AD
与
1
CE
所成角的余弦值是（）
A．
26
9
B．
6
6
C．
57
9
D．
30
6
7．已知函数
e
2elne
x
fxxx
，若
e 2e 2021e 2022e
2023202320232023
f f f f
 
   
   
1011()
ab
，其中
0
b
，
则
1 | |
2||
a
ab
的最小值为（ ）
A．
3
4
B．
3
2
C．
5
4
D．
2
2
8．在平面直角坐标系中，已知点
，
10
N，
，动点
Qxy
，
满足
2
QMQN
，过点
 
31
，
的直线与动点
Q
的轨迹交于
A
，
B
两点，记点
Q
的轨迹的对称中心为
C
，则当
ABC
面积取最大值时，直线
AB
的方程是（ ）
A．
4
yx
B．
4
yx
C．
24
yx
D．
24
yx
9．已知抛物线
22
xpy
0
p
的焦点为 F，A，B是抛物线上两动点，且
AF
的最小值为
1
，M是线段 AB 的中
点，
2,3
P
是平面内一定点，则下列选项不正确的是（ ）
A．
2
p
B．若
8
AFBF
，则 M到x轴的距离为 3
C．若
2
AFFB
，则
D．
APAF
的最小值为4
10．
已知双曲线
22
22
:10,0
xy
Cab
ab
的左，
右顶点分别是
1
A
，
2
A
，
圆
222
xya
与
C
的渐近线在第一象限的交点为
M
，直线
1
AM
交
C
的右支于点
P
，若△
2
MPA
是
等腰三角形，且
2
PAM
的内角平分线与
y
轴平行，则
C
的离心率为（）
A．2B．
2
C．
3
D．
5
11．已知
0
x
是函数
2 2
ee
x x
fx
的图象与函数
1
ln
gxxxx
的图象交点的横坐标，则
0
2
0
eln
xx
（）
A．
2
B．
ln2
C．
ln2
D．2
12．已知函数
2
2
21,0
log,0
xx
fx
xx
，
若关于x的方程
2
[()]()40
fxmfx
有6个不同的实数根，则m的取值范
围是（）
A．
13
(,5),4
3
B．
13,4
3
C．
13
4,(5,)
3
D．
13
4,3
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卷的相应位置.
13．
22 2
04x x dx 
______________．
14．在三棱锥 P－ABC 中，
2 3PA AB PB AC  
，AC⊥平面 PAB，则三棱锥 P－ABC 的外接球 O的体积为
______．
15．已知函数
 
cos 0, 2
f x x
 
 
 
 
 
，当
4
x
 
时函数
 
f x
能取得最小值，当
4
x
时函数
 
y f x
能取得最大值，且
 
f x
在区间
5
,
18 26
 
 
 
 
上单调，则当
取最大值时
的值为__________.
16．已知函数
ln
( ) , ( ) e x
x
f x g x x
x
 
，若存在
1 2
(0, ),  Rx x
，使得
 
1 2
 f x g x k
成立，则下列命题正确
的有___________．
①当
0k
时，
1 2 1x x 
②当
0k
时，
2
1
2 e 2e
x
x 
③当
0
k
时，
1 2 1 x x
④当
0
k
时，
2
1
ek
x
x
的最小值为
1
e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
2
3 1
2 2
n
S n n 
，递增的等比数列
 
n
b
满足：
1 4 18b b 
，
2 3 32b b 
．
(1)求数列
 
n
a
、
 
n
b
的通项公式；
(2)设
 
n
a
、
 
n
b
的前
n
项和分别为
n
S
，
n
T
，求
n
S
，
n
T
．
18．在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，满足
2 cos cos cosa A b C c B 
．
(1)求
A
；
(2)若
ABC
的面积为
6 3
，
2 7a
，求
ABC
的周长．
19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候
车厅，候车人数与时间 t相关，时间 t（单位：小时）满足
0 24t 
，
tN
.经测算，当
16 24t 
时，候车人数为
候车厅满厅状态，满厅人数 5160 人，当
0 16t 
时，候车人数会减少，减少人数与
(16 )t t
成正比，且时间为 6点
时，候车人数为 3960 人，记候车厅候车人数为
( )f t
.
(1)求
( )f t
的表达式，并求当天中午 12 点时，候车厅候车人数；
(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为
( ) 3160 320
f t
Pt
 
，则一天中哪个时间需要提供的
矿泉水瓶数最少?
20．如图，已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，二面角 S-AB-D 为直二面角，∠SAB=∠SBA，点 M为线
段AD 的中点.
(1)证明：SD⊥MC；
(2)若SA=AB，点 N是线段 BD 上靠近点 B的三等分点，求直线 SA 与平面 SMN
所成角的正弦值.
21．已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
的离心率为
1
2
，点
 
0, 2G
与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆
C
的标准方程；
(2)若直线
y kx m 
与椭圆
C
交于
M
，
N
两点，
O
为坐标原点，直线
OM
，
ON
的斜率之积等于
3
4
，试探求
OMN
的面积是否为定值，并说明理由.
22．已知函数
 
ln lnf x x a x 
，其中
0a
且
1a
．
(1)讨论函数
 
f x
的单调性；
(2)若
 
1
e ln
f x
a a
在
 
0,
上恒成立，求实数 a的取值范围．
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