《2023届浙江省高三物理高考复习101微专题模型精讲精练》第19讲 竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题（解析版）

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第 19 讲 竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问
题
1．（2022·江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略．空间站上操控货
物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为 L．如图 1所示，机械臂一端固定
在空间站上的 O点，另一端抓住质量为 m的货物．在机械臂的操控下，货物先绕 O点做半径为
2L、角速度为 ω的匀速圆周运动，运动到 A点停下．然后在机械臂操控下，货物从 A点由静止
开始做匀加速直线运动，经时间 t到达 B点，A、B间的距离为 L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小 Fn。
（2）求货物运动到 B点时机械臂对其做功的瞬时功率 P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图 2所示，它们在同一直线上．货物与空
间站同步做匀速圆周运动．已知空间站轨道半径为 r，货物与空间站中心的距离为 d，忽略空间
站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比 F1：F2。
【解答】解：（1）货物做匀速圆周运动，向心力
Fn=m⋅2L ω2=2mL ω2
（2）设货物到达 B点的速度为 v，根据匀变速规律
L=v
2t
，得 v
¿2L
t
货物的加速度
a=v
t=
2L
t
t=2L
t2
根据牛顿第二定律，机械臂对货物的作用力 F＝ma
¿2mL
t2
机械臂对货物做功的瞬时功率 P＝Fv
¿2mL
t2×2L
t=4m L2
t3
（3）设地球质量为 M，空间站的质量为 m0，地球对空间站的万有引力为 F，根据万有引力定律
F
¿GM m0
r2
①
地球对货物的万有引力
②
联立①②得
m0
m=F r2
F2¿¿
③
设空间站做匀速圆周运动的角速度为 ω0，根据牛顿第二定律
对空间站
F=m0r ω0
2
④
对货物
F2− F1=m(r − d)ω0
2
⑤
联立③④⑤解得
F1
F2
=r3−¿¿
答：（1）货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小为 2mω2L；
（2）货物运动到 B点时机械臂对其做功的瞬时功率为
4m L2
t3
；
（3）货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比为
r3−(r − d)3
r3
。
一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型
1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；
二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力
向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力向下、等于零
或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由
mg
＝
m
得
v
临＝ 由小球恰能做圆周运动得
v
临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，
v
≥，
F
N＋
mg
＝
m
，绳、圆轨道对球产生
弹力
F
N
(2)不能过最高点时，
v
<，在
到达最高点前小球已经脱离
了圆轨道
(1)当
v
＝0 时，
F
N＝
mg
，
F
N为支持力，沿
半径背离圆心
(2)当 0<
v
<时，
mg
－
F
N＝
m
，
F
N背离圆心，
随
v
的增大而减小
(3)当
v
＝时，
F
N＝0
(4)当
v
>时，
F
N＋
mg
＝
m
，
F
N指向圆心，并
随
v
的增大而增大
3.竖直面内圆周运动问题的解题思路
二. 例题精析
题型一、杆球模型
例1．一轻杆一端固定质量为 m的小球，以另一端 O为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R的圆周
运动，如图所示，则下列说法正确的是（　　）
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